Đáp án:

`a,`

Xét `ΔABD` và `ΔEBD` có :

`hat{ABD} = hat{EBD}` (giả thiết)

`BD` chung

`BA = BE` (giả thiết)

`-> ΔABD = ΔEBD` (cạnh - góc - cạnh)

$\\$

Vì `ΔABD = ΔEBD` (chứng minh trên)

`-> hat{BAD} = hat{BED}` (2 góc tương ứng)

mà `hat{BAD} =90^o`

`-> hat{BED} = 90^o`

hay `DE⊥BC`

$\\$

$\\$

$b,$

Vì `ΔABD = ΔEBD` (chứng minh trên)

`-> AD = ED` (2 cạnh tương ứng)

Xét `ΔADF` và `ΔEDC` có :

`hat{ADF} = hat{EDC}` (2 góc đối đỉnh)

`AD = ED` (chứng minh trên)

`hat{FAD} = hat{CED} = 90^o`

`-> ΔADF = ΔEDC` (góc - cạnh - góc)

`-> AF = EC` (2 cạnh tương ứng)

Có : \(\left\{ \begin{array}{l}AB + AF = BF\\EB + EC=BC\end{array} \right.\)

mà `AB = EB, AF = EC`

`-> BF = BC`

`-> ΔBFC` cân tại `B`

$\\$

$\\$

$c,$

Vì `ΔBFC` cân tại `B`

`BN` là đường phân giác

`-> BN` là đường trung tuyến

Xét `ΔDNC` và `ΔMNF` có :

`hat{DNC} = hat{MNF}` (2 góc đối đỉnh)

`NM = ND` (giả thiết)

`FN = CN` (Do `BN` là đường trung tuyến)

`-> ΔDNC = ΔMNF` (cạnh - góc - cạnh)

`-> hat{CDN} = hat{FMN}` (2 góc tương ứng)

mà 2 góc này ở vị trí so le trong

$→ FM//CD$

$\\$

$\\$

$d,$

Áp dụng định lí Pitago cho `ΔABC` vuông tại `A` có :

`AB^2 + AC^2 = BC^2 = 15^2`

`-> AB^2 + AC^2=225`

Có : `(AB)/(AC) =3/4`

`-> (AB)/3 = (AC)/4`

`-> (AB^2)/9 = (AC^2)/16`

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau có :

`(AB^2)/9 = (AC^2)/16 = (AB^2 + AC^2)/(9 + 16) = 225/25 = 9`

`->` \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{AB^2}{9}=9\\ \dfrac{AC^2}{16}=9\end{array} \right.\)

`->` \(\left\{ \begin{array}{l}AB^2=81\\AC^2=144\end{array} \right.\)

`->` \(\left\{ \begin{array}{l}AB=9cm\\AC=12cm\end{array} \right.\)

Chu vi `ΔABC` là :

`AB + AC  + BC = 9 + 12 + 15 = 36cm`

Vậy chu vi `ΔABC` là `36cm`

`\text{a)}`

Xét `\Delta ABD` và  `\Delta EBD` có :

`BA = BE ( \text{gt} )`

`\hat{ABD} = \hat{EBD}`

`BD` _ cạnh chung

`-> \Delta ABD = \Delta EBD ( \text{ c . g . c } )`

`-> \hat{DAB} = \hat{DEB}` ( `2` cạnh tương ứng )

Vì `\hat{DAB} = 90^o -> \hat{DEB} = 90^o ->  DE ⊥ BC`

`\text{b)}` 

Ta có :

`DA = DE` vì `\Delta ABD = \Delta EBD (\text{cmt} )`

Xét `\Delta EDC` vuông tại `E` và `\Delta ADF` vuông tại `A`

`\hat{ADF} = \hat{EDC}`

`DA = DE`

`-> \Delta EDC = \Delta ADF ( \text{cgv- góc nhọn kề cạnh ấy } )`

`-> EC = AF` ( `2` cạnh tương ứng )

Mà `AB = BE ( \text{gt} )`

`-> AF + AB = EC + BE`

`-> BF = BC`

`-> \Delta BFC` cân tại `B`

`\text{c)}`

Xét `\Delta BFC` cân tại `B` có :

`BN` là tia phân giác xuất phát từ `B`

`-> BN` cũng là đường trung tuyến xuất phát từ `B` và cắt `CF` tại `N`

`-> FN = NC`

Xét `\Delta DCN` và `\Delta FNM` có :

`DN = NM`

`\hat{DNC} = \hat{FNM}` ( `2` góc đối đỉnh )

`FN = NC`

`-> \Delta CND = \Delta FNM ( \text{c .g.c} )` 

`-> \hat{NCD} = \hat{NFM}` ( `2` góc tương ứng )

Mà đây là cặp góc so le trong

`-> FM \text{ // } DC `

`\text{d)}`

`{AB}/{AC} = 3/4`

`-> {AB}/3 = {AC}/4 -> {AB^2}/9 = {AC^2}/16`

Áp dụng định lý Py-ta-go cho `\Delta ABC` vuông tại `A` có :

`-> AB^2 + AC^2 = BC^2`

`-> AB^2 + AC^2 = 15^2 = 225`

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau :

`-> {AB^2}/9 = {AC^2}/16 = {AB^2 + AC^2}/{9+16} = 225/25 =9`

`->` $\begin{cases} AB = 9 cm \\ AC = 12cm \end{cases}$

`-> P_{\Delta ABC} = AB + AC + BC = 9cm + 12cm + 15 =36cm`