Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Đặt: $A=\dfrac{a+b}{\sqrt{a(15a+b)}+\sqrt{b(15b+a)}}$
$=\dfrac{4(a+b)}{\sqrt{16a(15a+b)}+\sqrt{16b(15b+a)}}$
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy$ ta có:
$\sqrt{16a(15a+b)} \leq \dfrac{16a+15a+b}{2}=\dfrac{31a+b}{2}$
và $\sqrt{16b(15b+a)} \leq \dfrac{16b+15b+a}{2}=\dfrac{31b+a}{2}$
$⇒ \sqrt{16a(15a+b)}+\sqrt{16b(15b+a)} \leq \dfrac{32a+32b}{2}$
Khi đó, $A \geq \dfrac{4(a+b)}{\dfrac{32(a+b)}{2}}=\dfrac{8}{32}=\dfrac{1}{4}$
Dấu $"="$ xảy ra khi: $a=b$
