Đáp án + giải thích các bước giải:
Ta sẽ chứng minh: `(2n(n+1)-k)/(2n(n+1)+k)\le n/(n+1) (n+1+k)/(n+k)`
`->n(n+1+k)[2n(n+1)+k]-[2n(n+1)-k](n+1)(n+k)>=0`
`->(n^2+n+nk)(2n^2+2n+k)-(2n^2+2n-k)(n^2+n+nk+k)>=0`
`->(n^2+n+nk+k)(2n^2+2n+k)-(2n^2+2n-k)(n^2+n+nk+k)-k(2n^2+2n+k)>=0`
`->(n^2+n+nk+k)(2n^2+2n+k-2n^2-2n+k)-k(2n^2+2n+k)>=0`
`->(n^2+n+nk+k)2k-k(2n^2+2n+k)>=0`
`->k(2n^2+2n+2nk+2k-2n^2-2n-k)>=0`
`->k(2nk+k)>=0`
`->k^2(2n+1)>=0` (luôn đúng)
Áp dụng vào bài, ta có:
`((4-k)/(4+k))((12-k)/(12+k)).....[(2n(n+1)-k)/(2n(n+1)+k)] = [(2.1.(1+1)-k)/(2.1.(1+1)+k)][(2.2.(2+1)-k)/(2.2.(2+1)+k)]....[(2n(n+1)-k)/(2n(n+1)+k)]<= 1/(1+2) . (1+1+k)/(1+k) . 2/(2+1) . (2+1+k)/(2+k) .....n/(n+1) (n+1+k)/(n+k) =1/2 . 2/3 ..... n/(n+1) . (2+k)/(1+k) . (3+k)/(2+k) ..... (n+1+k)/(n+k)=1/(n+1) . (n+k+1)/(1+k)=(n+k+1)/((n+1)(k+1))`
`->đpcm`
