Đáp án: $(x,y,z)\in\{(1,1,1) , (2,2,2)\}$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$\begin{cases}2x^3-7x^2+8x-2=y\\ 2y^3-7y^2+8y-2=z\\ 2z^3-7z^2+8z-2=x\end{cases}$
$\to\begin{cases}2x^3-7x^2+8x-3=y-1\\ 2y^3-7y^2+8y-3=z-1\\ 2z^3-7z^2+8z-3=x-1\end{cases}$
$\to\begin{cases}(x-1)^2(2x-3)=y-1\\(y-1)^2(2y-3)=z-1\\ (z-1)^2(2z-3)=x-1\end{cases}(*)$
Nếu $(x-1)(y-1)(z-1)=0$
$\to x-1=0$ hoặc $y-1=0$ hoặc $z-1=0$
Giải $x-1=0\to x=1\to y-1=0\cdot (2x-3)=0\to y=1\to z=1$
$\to (x,y,z)=(1,1,1)$
Tương tự trường hợp $y-1=0, z-1=0\to x=y=z=1$
Nếu $(x-1)(y-1)(z-1)\ne 0$
Đặt $x-1=a, y-1=b, z-1=c, (a,b,c\ne 0, a, b, c\in Z)$
Từ $(*)$
$\to\begin{cases}a^2(2a-1)=b\\b^2(2b-1)=c\\ c^2(2c-1)=a\end{cases}$
$\to\begin{cases}a^2(2a-1)-1=b-1\\b^2(2b-1)-1=c-1\\ c^2(2c-1)-1=a-1\end{cases}$
$\to\begin{cases}(a-1)(2a^2+a+1)=b-1\\(b-1)(2b^2+b+1)=c-1\\ (c-1)(2c^2+c+1)=a-1\end{cases}(**)$
Lập luận tương tự phần trên
$\to a=b=c=1\to x=y=z=2$
Hoặc $(a-1)(b-1)(c-1)\ne 0$
$\to $Nhân vế với vế của $(**)$
$\to (a-1)(b-1)(c-1)(2a^2+a+1)(2b^2+b+1)(2c^2+c+1)=(a-1)(b-1)(c-1)$
$\to (2a^2+a+1)(2b^2+b+1)(2c^2+c+1)=1$
Do $a,b,c\in Z$
$\to (2a^2+a+1, 2b^2+b+1, 2c^2+c+1)$ là cặp ước của $1$
Mà $2a^2+a+1=2(a+\dfrac18)+\dfrac78>0$
Tương tự $2b^2+b+1>0, 2c^2+c+1>0$
$\to 2a^2+a+1=2b^2+b+1= 2c^2+c+1=1$
$\to a=b=c=0$ vì $a, b, c\in Z$ loại vì $a,b,c\ne 0$
