Bài này có thể lên nâng lên chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên
Cho bổ đề: Nếu pp là số nguyên tố và $a^2+b^2$ chia hết cho $p$ thì cả $a,b$ đều chia hết cho $p$ với $p\equiv 3(\bmod4)$
Giả sử trái lại, ta đi chứng minh tồn tại số nguyên $x,y$ thỏa mãn $x^2-y^3=7$
Ta thấy chỉ có hai khả năng xảy ra:
Nếu $y$ chẵn hay $y=2k(k\in \mathbb{Z}$. Thay vào phương trình ban đầu ta được: $x^3=8k^3+7$
Thấy rằng một số chính phương chia 8 dư $0,1,4$. Điều này là mâu thuẫn. Vậy y không thể chẵn.
Nếu $y$ lẻ thì phương trình được viết lại $x^2+1=y^3+8 \Leftrightarrow x^2+1^2=(y+2)(y^2-2y+4).$.
Nếu $y$ chia 4 dư 1. Khi đó $y+2=4k+3$
Nếu $y$ chia 4 dư 3. Khi đó $y^2-2y+4=(4m+3)^2-2(4m+3)+4=4t+3.$
Vậy trong mọi trường hợp $x^2+1$ đều có ước dạng $4k+3$, vì thế nó phải có ước nguyên tố dạng $4k+3$. Điều này mâu thuẫn với mệnh đề đã nêu. Vậy phản chứng sai. Điều này có nghĩa phương trình không có nghiệm nguyên dương.
