Có $BC\bot AB, BC\bot SA$ nên $BC\bot (SAB)$
$\to AM\bot BC$
Mà $AM\bot SB$ nên $AM\bot (SBC)$
$\to AM\bot SC$
Hoàn toàn tương tự, ta có $AN\bot (SCD)$ nên $AN\bot SC$
$\to SC\bot (AMN)$
$\to SC\bot AP\forall P\in (AMN)$
Trong $(SAC)$, kẻ $AI\bot SC$
$\to I\in (AMN)$
$\to SC\bot(AMIN)$
Có $CI\bot (AMIN)\to d(C,(AMN))=CI$
$AC=AB\sqrt2=a\sqrt2$
$\to SC=\sqrt{SA^2+AC^2}=a\sqrt6$
Ta có $\Delta AIC\backsim\Delta SAC$ (g.g)
$\to \dfrac{AC}{IC}=\dfrac{SC}{AC}$
$\to IC=\dfrac{a\sqrt2.a\sqrt2}{a\sqrt6}=\dfrac{a\sqrt6}{3}$
Mà $CO=OA$
Vậy $d(O,(AMN))=\dfrac{1}{2}CI=\dfrac{a\sqrt6}{6}$