`a)` Vì `AD` là tia phân giác của `hat{A}`,theo t/c đường phân giác trong `ΔABC` có:
`(BD)/(CD)=(AB)/(AC)`
`⇒(BD)/(CD)=6/(10)`
`⇒(BD)/(CD)=3/5`
`→(BD)/3=(CD)/5`
Áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
`(BD)/3=(CD)/5=(BD+CD)/(3+5)=(12)/8=3/2`
`⇒(BD)/3=3/2⇒BD=4,5(cm)`
`⇒(CD)/5=3/2⇒CD=7,5(cm)`
Vậy `BD=4,5cm``;CD=7,5cm`
`b)` Ta có:`hat{BDA}=hat{CDI}`(đối đỉnh)
`hat{BDA}=hat{ACI}`(gt)
`⇒hat{CDI}=hat{ACI}`
Xét `2ΔACI` và `CDI` có:
`hat{I}` chung
`hat{ACI}=hat{CDI}(cmt)`
`⇒ΔACI~ΔCDI`
`c)` Xét `2ΔBAD` và `IAC` có:
`hat{BDA}=hat{ICA}`(gt)
`hat{A1}=hat{A2}`(gt)
`⇒ΔBAD~ΔIAC`
`⇒(AD)/(AC)=(BA)/(IA)`
`⇒AD.IA=AC.AB(1)`
`⇒hat{ABD}=hat{I}`
Xét `2ΔABD` và `CID`` có:
`hat{ABD}=hat{I}(cmt)`
`hat{ADB}=hat{CDI}`(đối đỉnh)
`⇒ΔABD~ΔCID`
`⇒(AD)/(CD)=(DB)/(ID)`
`⇒AD.ID=DB.CD(2)`
Từ `(1)` và `(2)` ,trừ vế theo vế:
`⇒AD.IA-AD.ID=AB.AC-DB.CD`
`⇒AD.(IA-ID)=AB.AC-DB.DC`
`⇒AD.AD=AB.AC-DB.DC`
`⇒AD^2=AB.AC-DB.DC(đpcm)`
