Áp dụng định lý Pytago trong ΔABC vuông tại A có:
$\text{BC² = AB² + AC²}$
Hay $\text{BC² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225}$
⇒ $\text{BC = 15 (cm)}$ vì BC > 0
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong ΔABC vuông tại A, AH ⊥ BC có:
$\text{AH.BC = AB.AC}$
Hay $\text{AH.15 = 9.12}$
$\text{⇔ AH.15 = 108}$
$\text{⇔ AH = $\frac{36}{5}$ (cm)}$
Xét ΔABC vuông tại A có: AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC
⇒ $\text{AM = BM = MC = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$.15 = $\frac{15}{2}$ (cm)}$
Có $\text{$S_{AMB}$ = $\frac{1}{2}$.AH.BM = $\frac{1}{2}.\frac{36}{5}.\frac{15}{2}$ = 27 ($cm^{2}$)}$
Vậy $\text{BC = 15 cm, AH = $\frac{36}{5}$ cm, AM = $\frac{15}{2}$ cm, $S_{AMB}$ = 27 ($cm^{2}$) }$
