Đáp án: Với `n ∈ NN` thì phân số $\dfrac{2n + 1}{2n + 3}$ luôn là phân số tối giản .
Giải thích các bước giải:
Gọi `ƯCLN ( 2n + 1, 2n + 3 ) = d` ( `d ∈ N*` )
`=> 2n + 1 \vdots d ; 2n + 3 \vdots d `
`=> [( 2n + 3 ) - ( 2n + 1 )] \vdots d`
`=> [ ( 2n - 2n ) + ( 3 - 1 ) ] \vdots d`
`=> 2 \vdots d `
`=> d ∈ Ư(2)` mà `d ∈ N**`, `d `là số nguyên tố `=> d = 2 `
Để phân số `(2n + 3)/(2n + 1)` là phân số tối giản .
`=> (2n + 1) \vdots 2 ` hoặc `( 2n + 3 ) \vdots 2 `
Vì `2n + 1 ` và `2n + 3 ` là số lẻ ( với `∀n ∈ NN` )
`=> (2n + 1) cancel{vdots} 2` và `(2n + 3) cancel{vdots} 2`
Mà đây là `2` số lẻ liên tiếp nên suy ra ƯCLN của chúng bao giờ cũng bằng `1`
`=>` Với `n ∈ NN ` thì phân số $\dfrac{2n + 1}{2n + 3}$ luôn là phân số tối giản .
