Bài 1:
$\quad I = \displaystyle\iint\limits_D(3x^2 + 2y -1)dxdy$
Phương trình hoành độ giao điểm:
$\quad x^2 = x \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array}\right.$
Miền $D$ được biểu diễn:
$\quad D =\{(x,y):\ 0\leqslant x \leqslant 1;\ x^2 \leqslant y \leqslant x\}$
Ta được:
$\quad I = \displaystyle\int\limits_0^1dx\displaystyle\int\limits_{x^2}^x(3x^2 + 2y -1)dy$
$\Leftrightarrow I = \displaystyle\int\limits_0^1\left[\left(3x^2y + y^2 - y\right)\Bigg|_{x^2}^x\right]dx$
$\Leftrightarrow I = \displaystyle\int\limits_0^1(- 4x^4 + 3x^3 + 2x^2 - x)dx$
$\Leftrightarrow I =\dfrac{7}{60}$
Bài 2:
$a)\quad I = \displaystyle\int\limits_L(2x+5xy)ds\qquad (L):\begin{cases}x = \cos t\\y =\sin t\end{cases}\quad 0\leqslant t \leqslant \dfrac{\pi}{2}$
$\Leftrightarrow I = \displaystyle\int\limits_0^{\tfrac{\pi}{2}}(2\cos t + 5\sin t\cos t)\sqrt{(-\sin t)^2 + \cos^2t}dt$
$\Leftrightarrow \displaystyle\int\limits_0^{\tfrac{\pi}{2}}(2\cos t + 5\sin t\cos t)dt$
$\Leftrightarrow I = \dfrac92$
$b)\quad I = \displaystyle\int\limits_{AB}(x^2 - 3xy)dx + (x-y)dy\qquad \left(\mathop{AB}\limits^{\displaystyle\frown}:\ A(2;4)\to B(1;1)\right)$
Ta có:
$\quad \mathop{AB}\limits^{\displaystyle\frown}:\ \begin{cases}y = 3x - 2\\x:\ 2 \to 1\end{cases}\Rightarrow dt = 3dx$
Ta được:
$\quad I = \displaystyle\int\limits_2^1\left[(x^2 - 3x(3x-2)) + 3(x - (3x-2))\right]dx$
$\Leftrightarrow I = \displaystyle\int\limits_2^1(-8x^2 +6)dx$
$\Leftrightarrow I = \dfrac{38}{3}$
Bài 3:
$\quad I = \displaystyle\iint\limits_S\left(2z - 5y + \dfrac{2x}{3}\right)ds\qquad (S): x + y + z = 1;\ x \geqslant 0;\ y \geqslant 0;\ z \geqslant 0$
Biểu diễn tham số của mặt $S:$
$\begin{cases}x = x\\y = y\\z = 1 - x - y\end{cases}\quad \forall (x;y)\in D$
Trong đó miền $D$ được xác định:
$\quad D =\{(x,y):\ 0\leqslant x \leqslant 1;\ 0\leqslant y \leqslant 1 - x\}$
Ta được:
$\quad I = \displaystyle\iint\limits_D\left[2(1-x-y) - 5y + \dfrac{2x}{3}\right]\sqrt{1 + (-1)^2 + (-1)^2}dxdy$
$\Leftrightarrow I = \displaystyle\int\limits_0^1dx\displaystyle\int\limits_0^{1-x}\left(-\dfrac{4x}{3} - 7y + 2\right)dy$
$\Leftrightarrow I = -\dfrac{7}{18}$
Bài 4:
$a)\quad (x^2 - yx^2)y' + y^2 + xy^2 = 0$
$\Leftrightarrow y' =\dfrac{y^2(x+1)}{x^2(y-1)}$
$\Leftrightarrow \dfrac{y-1}{y^1}dy = \dfrac{x+1}{x^2}dx$
$\Leftrightarrow \ln y +\dfrac1y = -\dfrac1x +\ln x + C$
$\Leftrightarrow y = -\dfrac{1}{W\left(\dfrac{C_1\sqrt[x]{e}}{x}\right)}$
$b)\quad y' -\dfrac{1}{x}y = \dfrac{1}{x^2}\qquad (*)$
Nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng có dạng:
$\quad y = C.e^{\displaystyle\int\dfrac1xdx}$
$\Leftrightarrow y = C.e^{\ln x}$
$\Leftrightarrow y = xC$
Do đó nghiệm tổng quát của $(*)$ có dạng:
$\quad y = xC(x)$
$\Rightarrow y' = C'(x).x + C(x)$
Thay vào $(*)$ ta được:
$\quad C'(x).x + C(x) - \dfrac1x\cdot xC(x) = \dfrac{1}{x^2}$
$\Leftrightarrow C'(x)=\dfrac{1}{x^3}$
$\Leftrightarrow C(x)= -\dfrac{1}{2x^2} + C_1$
Do đó nghiệm tổng quát của $(*)$ là: $y = -\dfrac{1}{2x} + xC_1$
Ta lại có: $y(1)= 2$
$\Leftrightarrow - \dfrac12 + C_1 = 2$
$\Leftrightarrow C_1 = \dfrac52$
Vậy phương trình có nghiệm là: $y = -\dfrac{1}{2x} + \dfrac{5x}{2}$
