Đáp án:
Câu 29: $B$
Câu 1: $\cos x=±\dfrac{3}{5}$
Câu 2: $Δ:\,3x+4y-27=0$
Câu 3: $f(x)_{max}=\dfrac{8}{11}$
Câu 4: $A\bigg{(}-\dfrac{4}{3};\dfrac{7}{3}\bigg{)}$
Giải thích các bước giải:
Câu 29:
$a, \sin^4x+\cos^4x=1$
$VT=\sin^4x+\cos^4x\\\,\,\,\,\,\,\
\,=(\sin^2x)^2+2\sin^2x.\cos^2x+(\cos^2x)^2-2\sin^2x.\cos^2x\\\,\,\,\,\,\,\
\,=(\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x\\\,\,\,\,\,\,\
\,=1-2\sin^2x\cos^2x\ne 1 (VP)$
$\to A$ sai
$b, \sin^4x-\cos^4x=\sin^2x-\cos^2x$
$VT=\sin^4x-\cos^4x\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,=(\sin^2x-\cos^2x)(\sin^2x+\cos^2x)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\sin^2x-\cos^2x=VP$
$\to B$ đúng
$c, \sin^4x+\cos^4x=1+2\sin^2x\cos^2x$
$VT=\sin^4x+\cos^4x\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,=(\sin^2x)^2+2\sin^2x.\cos^2x+(\cos^2x)^2-2\sin^2x.\cos^2x\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,=(\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,=1-2\sin^2x\cos^2x\ne VP$
$\to C$ sai
$d, \sin^6x+\cos^6x=1+3\sin^2x\cos^2x$
$VT=\sin^6x+\cos^6x\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,=(\sin^2x)^3+(\cos^2x)^3\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,=(\sin^2x+\cos^2x)(\sin^4x-\sin^2x\cos^2x+\cos^4x)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\sin^4x+\cos^4x-\sin^2x\cos^2x=1-2\sin^2x\cos^2x-\sin^2x\cos^2x\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,=1-3\sin^2x\cos^2x\ne VP$
Vậy đáp án $B$.
PHẦN TỰ LUẬN:
Câu 1:
$\sin x=\dfrac{4}{5}$
Ta có:
$\sin^2x+\cos^2x=1$
$⇒\cos x=±\sqrt{1-\sin^2x}=±\sqrt{1-\left(\dfrac{4}{5}\right)}=±\dfrac{3}{5}$
Câu 2:
$(C):\,(x-2)^2+(y+1)^2=25$
$(C)$ có tâm $I(2;-1)$ và bán kính $R=5$
Gọi $Δ:\,ax+by+c=0$ là tiếp tuyến cần tìm
$M(5;3)\in Δ$
$⇒5a+3b+c=0⇒c=-5a-3b$
$Δ$ là tiếp tuyến của $(C)$
$⇒d_{(I,Δ)}=R$
$⇒\dfrac{|2a-b+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=5$
$⇒|2a-b-5a-3b|=5\sqrt{a^2+b^2}$
$⇒|-3a-4b|=5\sqrt{a^2+b^2}$
$⇒(3a+4b)^2=25a^2+25b^2$
$⇒9a^2+24ab+16b^2=25a^2+25b^2$
$⇒16a^2-24ab+9b^2=0$
$⇒(4a-3b)^2=0$
$⇒4a=3b$
Chọn $a=3⇒b=4⇒c=-27$
$⇒Δ:\,3x+4y-27=0$
Vậy tiếp tuyến cần tìm là $Δ:\,3x+4y-27=0$.
Câu 3:
$f(x)=\dfrac{2}{x^2-5x+9}$
Ta có: $x^2-5x+9=x^2-2.x.\dfrac{5}{2}+\dfrac{25}{4}+\dfrac{11}{4}=\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2+\dfrac{11}{4}\ge \dfrac{11}{4}$
$⇒\dfrac{2}{x^2-5x+9}=\dfrac{2}{\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2+\dfrac{11}{4}}\le \dfrac{2}{\dfrac{11}{4}}=\dfrac{8}{11}$
$⇒f(x)\le \dfrac{8}{11}$
$⇒f(x)_{max}=\dfrac{8}{11}$
Dấu "=" xảy ra khi:
$\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2=0$
$⇒x=\dfrac{5}{2}$
Vậy $f(x)_{max}=\dfrac{8}{11}$ khi $x=\dfrac{5}{2}$
Câu 4:
$BH:\,x-y+2=0$
$BH$ là đường cao $\Delta ABC$
$⇒BH\perp AC$
$⇒AC$ có dạng $AC:\,x+y+m=0$
$C(-1;2)\in AC⇒-1+2+m=0⇒m=-1$
$⇒AC:\,x+y-1=0$
$AN:\,2x-y+5=0$
$AN$ là đường phân giác của $\Delta ABC$
$⇒A=AN∩AC$
$⇒$ Toạ độ của $A$ là nghiệm hệ phương trình:
$\begin{cases}2x-y=-5\\x+y=1\end{cases}⇒\begin{cases}x=-\dfrac{4}{3}\\y=\dfrac{7}{3}\end{cases}⇒A\bigg{(}-\dfrac{4}{3};\dfrac{7}{3}\bigg{)}$
Vậy $A$ có toạ độ $A\bigg{(}-\dfrac{4}{3};\dfrac{7}{3}\bigg{)}$.
