Đáp án:
$\max P = 5 + \sqrt{19}$
Giải thích các bước giải:
Cách 1: Phương pháp hình học
Gọi $A, B, C$ lần lượt là điểm biểu diễn các số phức $z_1;\ -z_2;\ z_1 + z_2$
Ta có:
$|z_1| = 1 \Rightarrow OA = 1$
$|z_2| = 1 \Rightarrow |-z_2| = 1 \Rightarrow OB = 1$
$|z_1 + z_2| = \sqrt3 \Rightarrow |z_1 - (-z_2)| = \sqrt3 \Rightarrow AB = \sqrt3$
Áp dụng định lý $\cos$ ta được:
$\quad AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2OA.OB.\cos\widehat{AOB}$
$\Rightarrow \cos\widehat{AOB} = \dfrac{OA^2 + OB^2 - AB^2}{2OA.OB}$
$\Rightarrow \cos\widehat{AOB} = \dfrac{1^2 + 1^2 - \left(\sqrt3\right)^2}{2.1.1} = - \dfrac12$
$\Rightarrow \widehat{AOB} = 120^\circ$
Gọi $M,\ N$ lần lượt là điểm biểu diễn số phức $3z_1$ và $-2z_2$
$\Rightarrow \begin{cases}|3z_1| = 3 \Leftrightarrow OM = 3\\|-2z_2| = 2 \Leftrightarrow ON = 2\end{cases}$
$\Rightarrow |3z_1 + 2z_2| = |3z_1 - (-2z_2)| = MN$
$\Rightarrow MN = \sqrt{OM^2 + ON^2 - 2OM.OM.\cos\widehat{MON}} = \sqrt{3^2 + 2^2 - 2.3.2.\cos120^\circ} = \sqrt{19}$
Áp dụng bất đẳng thức môđun số phức, ta có:
$\quad |3z_1 + 2z_2 - 4 + 3i| \leqslant |3z_1 + 2z_2| + |-4 + 3i|$
$\Leftrightarrow P \leqslant \sqrt{19} + 5$
Vậy $\max P = 5 + \sqrt{19}$
Cách 2: Phương pháp đại số
Ta có:
$\quad |z_1+z_2|=\sqrt3$
$\Leftrightarrow |z_1+z_2|^2 = 3$
$\Leftrightarrow |z_1|^2 + |z_2|^2 + \left(z_1\overline{z_2} +\overline{z_1}z_2\right)= 3$
$\Leftrightarrow z_1\overline{z_2} +\overline{z_1}z_2 = 1$
Ta được:
$\quad |3z_1+2z_2|$
$= \sqrt{|3z_1+ 2z_2|^2}$
$=\sqrt{9|z_1|^2 + 4|z_2|^2 + 6\left(z_1\overline{z_2} +\overline{z_1}z_2\right)}$
$= \sqrt{9 + 4 + 6}$
$=\sqrt{19}$
Áp dụng bất đẳng thức môđun số phức ta được:
$\quad |3z_1 + 2z_2 - 4 + 3i| \leqslant |3z_1 + 2z_2| + |-4 + 3i|$
$\Leftrightarrow P \leqslant \sqrt{19} + 5$
Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi
$\begin{cases}3z_1+2z_2 = k(-4+3i),\ k\geqslant 0\\|3z_1+2z_2|= \sqrt{19}\end{cases}\Rightarrow 3z_1 + 2z_2 = \dfrac{5\sqrt{19}}{19}$
Vậy $P_{\max}= 5 +\sqrt{19}$
