Đáp án+Giải thích các bước giải:
`a) ΔABC` cân tại `A` có `AH` là đường cao ứng với cạnh `BC`
`=> AH` đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh `BC`
mà `AI= 2/3AH`
`=> I` là trọng tâm của `ΔABC`
mà `BI` cắt `AC` tại `M`
`CI` cắt `AB` tại `N`
`=> M` là trung điểm của `AC`
`N` là trung điểm của `AB`
`=> MN` là đường trung bình của `ΔABC`
`=> MN //// BC`
Xét `ΔBIC` và `ΔMIN` có:
`MN////BC`
`=> ΔBIC ~ ΔMIN`
Ta có: `BM` là đường trung tuyến ứng với cạnh `AC`
mà `I` là trọng tâm
`=> (BI)/(MI)=2/1=2`
`ΔIKM` và `ΔIHB` có: `KM ////BH(MN////BC, K∈MN, H∈BC)`
`=> (IH)/(IK)=(BI)/(MI)` (Hệ quả Talet)
mà `(BI)/(MI)=2`
`=> (IH)/(IK)=2`
`b)`Ta có: `MN` là đường trung bình của `ΔABC`
`=> 2MN=BC`
`S_(AHC)=(S_(ABC))/2=S/2`(chung đường cao hạ từ `A`, `CH=1/2BC`)
mà `S_(IHC)=1/3S_(AHC)`
`=> S_(IHC)=1/3.S/2=S/6`
mà `S_(IHC)=1/2S_(IBC)`
`=> S_(IBC)=S/6 .2=S/(3)`
Ta có: `(S_(MNI))/(S_(IBC))=(1/2 . IK.MN)/(1/2 .IH.BC)=(IK.MN)/(IH.BC)=(IK.MN)/(2IK.2MN)=1/4`
mà `S_(IBC)=S/3`
`=> S_(MNI)=S/(12)`
