Đáp án:
`a,`
Xét `ΔACE` và `ΔAKE` có :
`hat{ACE} = hat{AKE} = 90^o`
`AE` chung
`hat{CAE} = hat{KAE}` (giả thiết)
`-> ΔACE= ΔAKE` (cạnh huyền - góc nhọn)
`-> AC = AK` (2 cạnh tương ứng)
`-> A` nằm trên đường trung trực của `CK` `(1)`
Do `ΔACE= ΔAKE` (chứng minh trên)
`-> CE = KE` (2 cạnh tương ứng)
`-> E` nằm trên đường trung trực của `CK` `(2)`
Từ `(1), (2)`
`-> AE` là đường trung trực của `CK`
`-> AE⊥CK`
$\\$
$\\$
$b,$
Áp dụng định lí tổng 3 góc `Δ` cho `ΔABC` có :
`hat{A} + hat{B} + hat{C} = 180^o`
`-> hat{B} = 180^o - 90^o - 60^o`
`-> hat{B} = 30^o`
Xét `ΔABC` vuông tại `C` có :
`hat{B} = 30^o`
Áp dụng tính chất trong 1 `Δ` vuông, cạnh đối diện với góc `30^o` sẽ bằng `1/2` cạnh huyền
`-> AC = 1/2 AB`
`-> AB = 2 AC`
$\\$
$\\$
$c,$
Do `AE` là tia phân giác của `hat{A}`
`-> hat{EAB} =1/2 hat{A} = 1/2 . 60^o`
`-> hat{EAB} = 30^o`
Có : `hat{B} = 30^o, hat{EAB} = 30^o`
`-> hat{B} = hat{EAB} = 30^o`
`-> ΔAEB` cân tại `E`
`-> AE =EB`
Xét `ΔACE` có :
`hat{ACE} = 90^o`
Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :
`AE` là cạnh lớn nhất
`-> AE > AC`
mà `AE = EB` (chứng minh trên)
`-> EB > AC`
$\\$
$\\$
$d,$
Gọi `H` là giao của `BD` và `AC` `(3)`
Có : `AD⊥BH`
`-> AD` là đường cao của `ΔHBA`
Có : `HK⊥BA`
`-> HK` là đường cao của `ΔHBA`
Có : `BC⊥HA`
`-> BC` là đường cao của `ΔHBA`
Xét `ΔHBA` có :
`AD` là đường cao
`BC` là đường cao
`AD` cắt `BC` tại `E`
`-> E` là trực tâm của `ΔHBA`
mà `HK` là đường cao của `ΔHBA`
`-> EK` đi qua `H` `(4)`
Từ `(3), (4)`
`-> AC,EK,BD` đồng quy tại `H`
