Đáp án:
\(\left[ \begin{array}{l}
m = - 1 + 4\sqrt 2 \\
m = - 1 - 4\sqrt 2
\end{array} \right.\)
Giải thích các bước giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là
\(\begin{array}{l}
\dfrac{1}{2}{x^2} = x + \dfrac{1}{2}{m^2} + m + 1\\
\to {x^2} - 2x - {m^2} - 2m - 1 = 0\left( 1 \right)
\end{array}\)
Để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt
⇒ Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
\(\begin{array}{l}
\to \Delta ' > 0\\
\to 1 + {m^2} + 2m + 1 > 0\\
\to {\left( {m + 1} \right)^2} + 1 > 0\left( {ld} \right)\forall x\\
Vi - et:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2\\
{x_1}{x_2} = - {m^2} - 2m - 1
\end{array} \right.\\
{x_1}^2 + {x_2}^2 = 68\\
\to {x_1}^2 + {x_2}^2 + 2{x_1}{x_2} - 2{x_1}{x_2} = 68\\
\to {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 68\\
\to 4 - 2\left( { - {m^2} - 2m - 1} \right) = 68\\
\to 2{m^2} + 4m - 62 = 0\\
\to \left[ \begin{array}{l}
m = - 1 + 4\sqrt 2 \\
m = - 1 - 4\sqrt 2
\end{array} \right.
\end{array}\)
