Xét $x=0$ không là nghiệm của phương trình:

Xét $x\ne 0$ phương trình trở thành:

$\begin{array}{l} \dfrac{{4x}}{{{x^2} + x + 3}} + \dfrac{{5x}}{{{x^2} - 5x + 3}} =  - \dfrac{3}{2}\\  \Leftrightarrow \dfrac{4}{{x + \dfrac{3}{x} + 1}} + \dfrac{5}{{x + \dfrac{3}{x} - 5}} =  - \dfrac{3}{2}\\  \Leftrightarrow \dfrac{4}{{t + 3}} + \dfrac{5}{{t - 3}} =  - \dfrac{3}{2}\left( {t = x + \dfrac{1}{x} - 2} \right)\\  \Leftrightarrow 4\left( {t - 3} \right) + 5\left( {t + 3} \right) =  - \dfrac{3}{2}\left( {t - 3} \right)\left( {t + 3} \right)\\  \Leftrightarrow 9t + 3 =  - \dfrac{3}{2}\left( {{t^2} - 9} \right)\\  \Leftrightarrow 9t + 3 =  - \dfrac{3}{2}{t^2} + \dfrac{{27}}{2}\\  \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}{t^2} + 9t - \dfrac{{21}}{2} = 0\\  \Leftrightarrow 3{t^2} + 18t - 21 = 0\\  \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {3t + 21} \right) = 0\\  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t =  - 7 \end{array} \right.\\  \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x + \dfrac{3}{x} - 2 = 1\\ x + \dfrac{3}{x} - 2 =  - 7 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + \dfrac{3}{x} - 3 = 0\\ x + \dfrac{3}{x} + 5 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} - 3x + 3 = 0(PTVN)\\ {x^2} + 5x + 3 = 0 \end{array} \right.\\  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 5 + \sqrt {13} }}{2}\\ x = \dfrac{{ - 5 - \sqrt {13} }}{2} \end{array} \right.\\  \Rightarrow S = \left\{ {;\dfrac{{ - 5 + \sqrt {13} }}{2};\dfrac{{ - 5 - \sqrt {13} }}{2}} \right\} \end{array}$

Đáp án: Tập nghiệm của phương trình là S={ $\frac{-5+√13}{2}$ ; $\frac{-5-√13}{2}$ ) 

Giải thích các bước giải: 

Thay x=0 vào phương trình, ta có: 0=$\frac{-3}{2}$ ( vô lý )

⇒ x=0 không là nghiệm của phương trình 

⇒ Chia cả tử và mẫu của các số hạng ở VT cho x ta được:

  $\frac{4}{x+1+3/x}$ + $\frac{5}{x-5+3/x}$ = $\frac{-3}{2}$ (1)

 Đặt x + $\frac{3}{x}$ = a

 Phương trình (1) trở thành: $\frac{4}{a+1}$ + $\frac{5}{a-5}$ = $\frac{-3}{2}$ 

  ⇔ $\frac{4(a-5)+5(a+1)}{(a+1)(a-5)}$ = $\frac{-3}{2}$ 

  ⇔ $\frac{4a-20+5a+5}{(a+1)(a-5)}$ = $\frac{-3}{2}$ 

  ⇔ $\frac{9a-15}{(a+1)(a-5)}$ = $\frac{-3}{2}$ 

  ⇔ -3(a+1)(a-5) = 2(9a-15)

  ⇔ -3( a² - 4a - 5) = 18a - 30

  ⇔ -3a² +12a +15 = 18a - 30

  ⇔ 3a² + 6a - 45=0 ⇔ a² + 2a - 15=0 (2)

 Ta có: Δ' = 1² - 1.(-15) = 16>0

⇒ Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt:

  $a_{1}$ = -1 + $\sqrt[]{16}$ = -1 + 4 = 3

   $a_{2}$ = -1 - $\sqrt[]{16}$ = -1 - 4 = -5

+) Với a=3 ⇒ x + $\frac{3}{x}$ = 3 

  ⇔ $\frac{x^2+3}{x}$ = 3 ⇔ $x^{2}$ + 3 = 3x ⇔ x² - 3x+3=0

    Ta có: Δ= (-3)² - 4.3 = 9-12=-3<0 ⇒ Phương trình vô nghiệm

⇒ a=3 loại

+) Với a=-5 ⇒ x + $\frac{3}{x}$ = -5

    ⇔ $\frac{x^2+3}{x}$ = -5 ⇔ x² + 3 = -5x ⇔ x² + 5x+3=0

 Ta có: Δ= 5² - 4.1.3 = 25-12=13 >0

⇒ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt $x_{1,2}$ = $\frac{-5 ± √13}{2}$ 

Vậy tập nghiệm của phương trình là S={ $\frac{-5+√13}{2}$ ; $\frac{-5-√13}{2}$ )