Đáp án: $(x; y) = (0;0); (0; 1); (1; 0)$
Giải thích các bước giải:
Xét $PT : x³ + y³ = (x + y)² + xy (*)$
Nếu $ x; y ≥ 3 ⇒ x³ ≥ 3x²; y³ ≥ 3y²$
$ ⇒ x³ + y³ ≥ 3(x² + y²) = 2(x² + y²) + (x² + y²)$
$ ≥ (x + y)² + 2xy > (x + y)² + xy ⇒ (*)VN$
$ ⇒ $ Ít nhất một trong hai nghiệm $x$ hoặc $y ≤ 2$
Vì $x; y$ bình đẳng nên có thể xét $x ≤ 2$
- TH1 $: x = 0$ thay vào $(*)$
$ y³ = y² ⇔ y²(y - 1) = 0 ⇔ y = 0; y = 1$
- TH2 $: x = 1$ thay vào $(*)$
$ 1 + y³ = y² ⇔ (1 + y)² + y$
$ ⇔ y(y² - y - 3) = 0 ⇔ y = 0$
$(PT : y² - y - 3 = 0 $ không có nghiệm nguyên dương)
- TH3 $: x = 2$ thay vào $(*)$
$ 8 + y³ = (2 + y)² + 2y ⇔ y² + 6y - y³ = 4$
$ ⇔ y + 6 - y² = \dfrac{4}{y} ⇒ y$ là ước của $4$
$ ⇒ y = 1; 2; 4 $ đều ko thỏa mãn
KL : PT có nghiệm nguyên dương: $(x; y) = (0;0); (0; 1); (1; 0)$
Lưu ý : các hoán vị của các nghiệm trên trùng nhau
