Đáp án:
$\\$
`a,`
Xét `ΔAHB` và `ΔAHD` có :
`hat{AHB} = hat{AHD} = 90^o`
`BH = DH` (giả thiết(
`AH` chung
`-> ΔAHB = ΔAHD` (cạnh - góc - cạnh)
`-> AB = AD` (2 cạnh tương ứng)
`-> ΔABD` cân tại `A`
Áp dụng định lí tổng 3 góc `Δ cho `ΔABC` có :
`hat{A} + hat{B} + hat{C}=30^o`
`-> hat{B}=180^o-30^o-90^o`
`-> hat{B}=60^o`
mà `ΔABD` cân tại `A`
`-> ΔABD` đều
$\\$
$\\$
$b,$
Do `ΔABD` đều
`-> hat{BAD} = 60^o`
Có : `hat{DAC} = hat{A} - hat{BAD}`
`-> hat{DAC} = 90^o - 60^o`
`-> hat{DAC} = 30^o`
Có : `hat{DAC} = 30^o, hat{C}=30^o`
`-> hat{DAC}=hat{C}=30^o`
`-> ΔADC` cân tại `D`
`-> AD = CD`
Xét `ΔAHD` và `ΔCED` có :
`hat{AHD} = hat{CED} = 90^o`
`AD = CD` (chứng minh trên)
`hat{ADH} = hat{CDE}` (2 góc đối đỉnh)
`-> ΔAHD = ΔCED` (cạnh huyền - góc nhọn)
`-> AH = CE` (2 cạnh tương ứng)
$\\$
$\\$
$c,$
Có : `AD = CD` (chứng minh trên)
`-> ΔADC` cân tại `D`
`-> hat{DAC} = hat{DCA} = (180^o - hat{ADC})/2` `(1)`
Do `ΔAHD = ΔCED` (chứng minh trên)
`-> DH= DE` (2 cạnh tương ứng)
`-> ΔHDE` cân tại `D`
`-> hat{DHE} = hat{DEH} = (180^o - hat{HDE})/2`
mà `hat{HDE} = hat{ADC}` (2 góc đối đỉnh)
`-> hat{DHE} = hat{DEH}=(180^o - hat{ADC})/2` `(2)`
Từ `(1), (2)`
`-> hat{HDE} = hat{DCA} (=(180^o-hat{ADC})/2)`
mà 2 góc này ở vị trí so le trong
$→ EH//AC$
