Giải thích các bước giải:
3)
$a) $Xét $\Delta BDC$ và $\Delta HBC$
$\widehat{C}$: chung
$\widehat{DBC}=\widehat{BHC}=90^o\\ \Rightarrow \Delta BDC \backsim \Delta HBC\\ b)\Delta BDC \backsim \Delta HBC\\ \Rightarrow \dfrac{BC}{HC}=\dfrac{DC}{BC}\\ \Rightarrow BC^2=HC.DC$
$c)ABCD$ là hình thang cân
$\Rightarrow AD=BC; \widehat{ADC}=\widehat{BCD}\Leftrightarrow \widehat{ADK}=\widehat{BCH}$
Xét $\Delta AKD$ và $\Delta BHC$
$AD=BC\\ \widehat{ADK}=\widehat{BCH}\\ \widehat{AKD}=\widehat{BHC}=90^o\\ \Rightarrow \Delta AKD = \Delta BHC\\ d)BC^2=HC.DC\\ \Rightarrow HC=\dfrac{BC^2}{DC}=9cm\\ HD=DC-HC=16cm$
$e)\Delta BHC$ vuông tại $H$
$\Rightarrow BH=\sqrt{BC^2-HC^2}=12cm\\ \Delta AKD = \Delta BHC\\ \Rightarrow KD=HC=9cm\\ AK \perp DC, BH \perp DC\\ \Rightarrow AK//BH$
Mà $AB//HK$
$\Rightarrow ABHK$ là hình bình hành
Có $\widehat{AKH}=90^o$
$\Rightarrow ABHK$ là hình chữ nhật
$\Rightarrow AB=HK=DC-HC-KD=7cm\\ S_{ABCD}=\dfrac{(AB+DC).BH}{2}=192cm^2$
$4)$
$a)$Xét $\Delta ADB$ và $\Delta AEC$
$\widehat{A}$: chung
$\widehat{ADB}=\widehat{AEC}=90^o\\ \Rightarrow \Delta ADB \backsim \Delta AEC$
$b)$Xét $\Delta HEB $ và $ \Delta HDC$
$\widehat{H_1}=\widehat{H_2}(đđ)\\ \widehat{HEB}=\widehat{HDC}=90^o\\ \Rightarrow \Delta HEB \backsim \Delta HDC\\ \Rightarrow \dfrac{HE}{HD}=\dfrac{HB}{HC}\\ \Rightarrow HE.HC=HD.HB\\ c)BH \perp AC\\ KC \perp AC\\ \Rightarrow BH//KC(1)\\ CH \perp AB\\ KB \perp AB\\ \Rightarrow CH//KB(2)$
$(1)(2) \Rightarrow BHCK$ là hình bình hành
$\Rightarrow$ Đường chéo $HK$ đi qua trung điểm $M$ của đường chéo $BC$
$\Rightarrow H,K,M$ thẳng hàng
$d)\circledast BHCK$ là hình thoi
$\Rightarrow HM \perp BC(3)$
$\Delta ABC, H$ là giao điểm $3$ đường cao
$\Rightarrow AH \perp BC(4)$
$(3)(4) \Rightarrow A,H,M$ thẳng hàng
$\Rightarrow AM \perp BC$
Mà $M$ là trung điểm $BC$
$\Rightarrow AM$ là trung trực $BC$
$\Rightarrow AB=AC$
$\Rightarrow ABC$ cân tại $A$
$\circledast BHCK$ là hình chữ nhật
$\Rightarrow CH \perp BH$
Mà $CH \perp BD$
$\Rightarrow H \equiv D\\ CH \perp AB \Leftrightarrow CD \perp AB \Leftrightarrow CA \perp AB(D \in AB)$
$\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại $A.$
