Bài làm:
Theo bài, ta có: x, y, z > 0
⇒ 4x+1 > 0 ; 4y+1>0 ; 4z+1>0
Áp dụng bđt cô si cho 2 số dương, ta có:
$\sqrt[]{4x+1}$ $\leq$ $\frac{(4x+1)+1}{2}$ = $\frac{4x+2}{2}$ = 2x+1
Chứng minh tương tự, ta có: $\sqrt[]{4y+1}$ $\leq$ 2y+1 và $\sqrt[]{4z+1}$ $\leq$ 2z + 1
⇒ $\sqrt[]{4x+1}$ + $\sqrt[]{4y+1}$ + $\sqrt[]{4z+1}$ $\leq$ 2x + 2y + 2z + 3 = 2(x+y+z) + 3
Dấu " = " xảy ra ⇔ 4x+1 = 4y+1 = 4z+1 = 1
⇔ 4x = 4y = 4z = 0 ⇔ x = y = z = 0 (1)
mà theo bài: x, y, z>0 (2)
Từ (1) và (2) ⇒ Dấu " = " sẽ không xảy ra
hay 3 + 2(x+y+z) > $\sqrt[]{4x+1}$ + $\sqrt[]{4y+1}$ + $\sqrt[]{4z+1}$ ( đpcm )
