`a)`
Xét `ΔAEC` và `ΔAFB` có:
`hat{A}:chung`
`hat{AEC}=hat{AFB}=90^o`
`⇒ΔAEC`$\sim$`ΔAFB(g.g)(đpcm)`
`b)`
Theo câu `a)ΔAEC`$\sim$`ΔAFB(g.g)`
`⇒(AE)/(AF)=(AC)/(AB)`
`⇒AE.AB=AF.AC(đpcm)`
Vì `(AE)/(AF)=(AC)/(AB)(cmt)`
Hay `(AE)/(AC)=(AF)/(AB)`
Xét `ΔAEF` và `ΔACB` có:
`(AE)/(AC)=(AF)/(AB)(cmt)`
`hat{A}:chung`
`⇒ΔAEF`$\sim$`ΔACB(c.g.c)(đpcm)`
`c)`
Xét `ΔABC` có:
`BF⊥AC(g``t)`
`CE⊥AB(g``t)`
`H` là giao điểm của `BF` và `CE`
`⇒H` là trực tâm của `ΔABC`
`⇒AD⊥BC`
Xét `ΔBDH` và `ΔBFC` có:
`hat{BDH}=hat{BFC}=90^o`
`hat{B}:chung`
`⇒ΔBDH`$\sim$`ΔBFC(g.g)`
`⇒(BH)/(BC)=(BD)/(BF)`
`⇒BH.BF=BD.BC(1)`
Xét `ΔCDH` và `ΔCEB` có:
`hat{CDH}=hat{CEB}=90^o`
`hat{C}:chung`
`⇒ΔCDH`$\sim$`ΔCEB(g.g)`
`⇒(CH)/(CB)=(CD)/(CE)`
`⇒CH.CE=CD.CB(2)`
Cộng vế theo vế vào `(1)` và `(2)` ta đươc:
`BH.BF+CH.CE=BD.BC+CD.CB`
`→BH.BF+CH.CE=BC.(BD+CD)`
`→BH.BF+CH.CE=BC.BC`
`→BH.BF+CH.CE=BC²(đpcm)`
`d)`
Ta có:`CE⊥AB(g``t)`
`DM⊥AB(g``t)`
`⇒CE``/``/``DM(` từ `⊥` đến `/``/)`
Hay `HE``/``/``DM`
Vì `HE``/``/``DM(cmt)`, áp dụng định lý Ta-lét ta có:
`(AE)/(AM)=(AH)/(AD)(3)`
Ta có:`BF⊥AC(g``t)`
`DN⊥AC(g``t)`
`⇒BF``/``/``DN(` từ `⊥` đến `/``/)`
Hay `HF``/``/``DN`
Vì `HF``/``/``DN(cmt)`, áp dụng định lý Ta-lét ta có:
`(AH)/(AD)=(AF)/(AN)(4)`
Từ `(3)` và `(4)⇒(AE)/(AM)=(AF)/(AN)`
Xét `ΔAMN` có:
`(AE)/(AM)=(AF)/(AN)(cmt)`
`⇒MN``/``/``EF(` áp dụng định lý Ta-lét đảo `)(đpcm)`
