Đáp án:

$1)\quad A.\ \dfrac{4\pi a^3}{3}$

$2)\quad D.\ a = \dfrac{2\sqrt3 R}{3}$

$3)\quad B.\ 8\pi a^2$

$4)\quad D.\ R\sqrt3$

$5)\quad B.\ R\sqrt3$

$6)\quad C.\ 1\ cm$

$7)\quad D.\ \dfrac{8\pi a^3\sqrt6}{27}$

$8)\quad C.\ R =\dfrac{13a}{2}$

Giải thích các bước giải:

Câu 1:

Ta có: $V = \dfrac43\pi R^3$

Với $R = a$ ta được:

$V = \dfrac{4\pi a^3}{3}$

Câu 2:

Mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh $a$

Khi đó đường chéo chính của hình lập phương chính là đường kính của mặt cầu.

Ta có:

$\quad (2R)^2 = a^2 + a^2 + a^2$

$\Leftrightarrow 4R^2 = 3a^2$

$\Leftrightarrow a^2 = \dfrac{4R^2}{3}$

$\Rightarrow a = \dfrac{2\sqrt3 R}{3}$

Câu 3:

Ta có:

$\begin{cases}SA\perp BC\quad (SA\perp (ABCD))\\AB\perp BC\quad (gt)\end{cases}$

$\Rightarrow BC\perp (SAB)$

$\Rightarrow BC\perp SB$

$\Rightarrow \triangle SBC$ vuông tại $B$

Gọi $I$ là trung điểm $SC$

$\Rightarrow IS = IB = IC$

Tương tự ta có:

$\triangle SCD$ vuông tại $D\Rightarrow IS = ID = IC$

$\triangle SAC$ vuông tại $A\Rightarrow IS = IA = IC$

$\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, bán kính $R = IS = IC =\dfrac12SC$

Áp dụng định lý Pytago ta được:

$\quad SC^2 = SA^2 + AC^2$

$\Rightarrow SC =\sqrt{6a^2 + 2a^2}= 2\sqrt2a$

$\Rightarrow R = a\sqrt2$

Diện tích mặt cầu:

$S = 4\pi R^2 = 4\pi \left(a\sqrt2\right)^2= 8\pi a^2$

Câu 4:

Ta có $AB$ là tiếp tuyến của $(S)$ tại $B$

$\Rightarrow OB\perp AB$

Áp dụng định lý Pytago ta được:

$\quad OA^2 = OB^2 + AB^2$

$\Rightarrow AB=\sqrt{OA^2 - OB^2}=\sqrt{4R^2 - R^2}$

$\Rightarrow AB = R\sqrt3$

Câu 5:

Thiết diện tạo bởi $(\alpha)$ và mặt cầu $(S)$ là đường tròn.

Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ lên $(\alpha)$ và $r$ là bán kính thiết diện.

$\Rightarrow OH = d(O;(\alpha))= \dfrac{R}{2}$

Ta có:

$\quad OH\perp (\alpha)$

Áp dụng định lý Pytago ta được:

$\quad R^2 = OH^2 + r^2$

$\Rightarrow r =\sqrt{R^2 - OH^2}=\sqrt{R^2 - \dfrac{R^2}{4}}$

$\Rightarrow r = \dfrac{R\sqrt3}{2}$

$\Rightarrow d = 2r = R\sqrt3$

Câu 6:

Tương tự câu 5, ta có:

$r =\sqrt{R^2 - d^2(I;(\alpha))}=\sqrt{2,6^2 - 2,4^2}$

$\Rightarrow r = 1\ cm$

Câu 7:

Gọi $O$ là tâm của đáy

$\Rightarrow OA = OB = OC = OD = \dfrac{a\sqrt2}{2}$

$\Rightarrow SO\perp (ABCD)$ (hình chóp đều

$\Rightarrow\widehat{(SA;(ABCD))}=\widehat{SAO}= 60^\circ$

$\Rightarrow\begin{cases}SO = OA.\tan60^\circ = \dfrac{a\sqrt6}{2}\\SA =\dfrac{OA}{\cos60^\circ}= a\sqrt2\end{cases}$

Gọi $M$ là trung điểm $SA$

$\Rightarrow SM = MA =\dfrac{a\sqrt2}{2}$

Trong $mp(SAO)$, trung trực của $SA$ cắt $SO$ tại $I$

$\Rightarrow IA = IS$

mà $SO$ là trục của đáy (hình chopa đều)

nên $IA = IB = IC = ID$

Do đó $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chóp

Xét $\triangle SMI$ và $\triangle SOA$ có:

$\begin{cases}\widehat{S}:\ \text{góc chung}\\\widehat{M}=\widehat{O}= 90^\circ\end{cases}$

Do đó $\triangle SMI\backsim \triangle SOA\ (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{IS}{SA}=\dfrac{SM}{SO}$

$\Rightarrow R = IS = \dfrac{SM.SA}{SO}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt2}{2}\cdot a\sqrt2}{\dfrac{a\sqrt6}{2}}$

$\Rightarrow R = \dfrac{a\sqrt6}{3}$

Thể tích khối cầu:

$V = \dfrac43\pi\left(\dfrac{a\sqrt6}{3}\right)^3 = \dfrac{8\pi a^3\sqrt6}{27}$

Câu 8:

Tương tự câu 3, ta có:

Tâm $I$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là trung điểm $SC$

Ta được: $R = \dfrac12SC$

Áp dụng định lý Pytago ta được:

$\quad SC^2 = SA^2 + AC^2$

$\Leftrightarrow SC^2 = SA^2 + AB^2 + BC^2$

$\Leftrightarrow SC^2 = 144a^2 + 9a^2 + 16a^2= 169a^2$

$\Rightarrow SC = 13a$

$\Rightarrow R =\dfrac{13a}{2}$

Bạn xem hình