Bài 1:
`a) A=2x+2/(3x-1)`
`3/2 A=3x+3/(3x-1)`
`3/2 A=(3x-1)+3/(3x-1)+1`
Áp dụng bđt Cosi cho 2 số dương `3x-1` và `3/(3x-1)` ta có:
`\qquad (3x-1)+3/(3x-1)>=2\sqrt{3}`
`=> 3/2 A>=2\sqrt{3}+1`
`=> A>=(2+4\sqrt{3})/3`
Dấu = xảy ra khi `(3x-1)^2=3`
`=> 3x-1=\sqrt{3}` (do `3x-1>0`)
`<=> x=(\sqrt{3}+1)/3(\text{tm})`
Vậy `A_(min)=(2+4\sqrt{3})/3<=>x=(\sqrt{3}+1)/3`
`b) B=\sqrt{x}+7/\sqrt{x}`
Áp dụng bđt Cosi cho 2 số dương `\sqrt{x}` và `7/\sqrt{x}`:
`\qquad \sqrt{x}+7/\sqrt{x} >=2\sqrt{7}`
`=> B>=2\sqrt{7}`
Dấu = xảy ra khi `x=7(\text{tm})`
Vậy `B_(min)=2\sqrt{7}<=>x=7`
Bài 2:
`a) A=x(6-x)`
Áp dụng bđt Cosi cho 2 số dương `x; 6-x`
`\qquad x(6-x) <= (x+6-x)^2/4=9`
Dấu = xảy ra khi `x=6-x <=> x=3(\text{tm})`
Vậy `A_(max)=9<=>x=3`
`b) B=2x(3-2x)`
Áp dụng bđt Cosi cho 2 số dương `2x; 3-2x`
`\qquad 2x(3-2x)<=(2x+3-2x)^2/4=9/4`
Dấu = xảy ra khi `2x=3-2x <=> x=3/4(\text{tm})`
Vậy `B_(max)=9/4<=>x=3/4`
`c) C=x(5-2x)`
`\qquad 2C=2x(5-2x)`
Áp dụng bđt Cosi cho 2 số dương `2x; 5-2x` ta có:
`\qquad 2x(5-2x)<=(2x+5-2x)^2/4=25/4`
`=> 2C<=25/4 => C<=25/8`
Dấu = xảy ra khi `2x=5-2x <=> x=5/4(\text{tm})`
Vậy `C_(max)=25/8<=>x=5/4`
`d) D=x(6-3x)`
`\qquad 3D=3x(6-3x)`
Áp dụng bđt Cosi cho 2 số dương `3x; 6-3x` ta có:
`\qquad 3x(6-3x)<=(3x+6-3x)^2/4=9`
`=> 3D<=9 => D<=3`
Dấu = xảy ra khi `3x=6-3x<=>x=1(\text{tm})`
Vậy `D_(max)=3<=>x=1`
