Đáp án+Giải thích các bước giải:
Bài `1`:
Ta có:
`6x-x^2-10`
`=-(x^2-6x+10)`
`=-(x^2-2.3.x+3^2+1)`
`=-(x-3)^2-1`
Vì `(x-3)^2≥0∀x∈RR`
`->-(x-3)^2≤∀x∈RR`
`->-(x-3)^2-1≤-1<0∀x∈RR`
`->6x-x^2-10<0∀x∈RR(đpcm)`
Vậy `6x-x^2-10<0∀x∈RR`
Bài `2`:
`A=x^2+y^2-4x+6y+16`
`=x^2-4x+4+y^2+6y+9+3`
`=x^2-2.2.x+2^2+y^2+2.3.y+3^2+3`
`=(x-2)^2+(y+3)^2+3`
Vì `(x-2)^2≥0∀x∈RR`
`(y+3)^2≥0∀y∈RR`
`->(x-2)^2+(y+3)^2≥0∀x;y∈RR`
`->(x-2)^2+(y+3)^2+3≥3∀x;y∈RR`
`->A≥3`
Dấu `'='` xảy ra `⇔x-2=0` và `y+3=0`
`<=>x=2` và `y=-3`
Vậy `min A` bằng `3` khi `x=2;y=-3`
Bài `3`:
`a)`
Ta có: `-x^2+7x`
`=-(x^2-7x)`
`=-[x^2-2.(7)/(2).x+(7/2)^2-(7/2)^2]`
`=-[(x-7/2)^2-49/4]`
`=-(x-7/2)^2+(49)/(4)`
Vì `(x-7/2)^2≥0∀x∈RR`
`->-(x-7/2)^2≤0∀x∈RR`
`->-(x-7/2)^2+49/4≤49/4∀x∈RR`
`->-x^2+7x≤49/4`
Dấu `'='` xảy ra `<=>x-7/2=0`
`<=>x=7/2`
Vậy biểu thức `7x-x^2` đạt GTLN là `49/4` khi `x=7/2`
`b)`
`-x^2+2xy-2y^2+10y-8`
`=-x^2+2xy-y^2-y^2+10y-8`
`=-(x^2-2xy+y^2)-(y^2-10y+8)`
`=-(x-y)^2-(y^2-2.5.y+5^2-5^2+8)`
`=-(x-y)^2-[(y-5)^2-17]`
`=-(x-y)^2-(y-5)^2+17`
Vì `(x-y)^2≥0∀x;y->-(x-y)^2≤0∀x;y`
`(y-5)^2≥0∀y->-(y-5)^2≤0∀y`
`->-(x-y)^2-(y-5)^2≤0∀x;y`
`->-(x-y)^2-(y-5)^2+17≤17∀x;y`
`->-x^2+2xy-2y^2+10y-8≤17∀x;y`
Dấu `'='` xảy ra `⇔x-y=0` và `y-5=0`
`<=>x=y` và `y=5`
`<=>x=y=5`
Vậy `-x^2+y^2-4x+6y+16` đạt GTLN là `17` khi `x=y=5`
