Chứng minh rằng 1/1+a^2 + 1/1+b^2 >=2/1+aba, Cho a,b > 0 . CMR :$\dfrac{1}{1+a^2}$+ $\dfrac{1}{1+b^2}$ $\ge$$\dfrac{2}{1+ab}$ nếu ab $\ge$1 b, Cho a,b,c $\ge1$. CMR : $\dfrac{1}{1+a^4}$ + $\dfrac{1}{1+b^4}$ + $\dfrac{1}{1+c^4}$ $\ge$$\dfrac{1}{1+ab^3}$ + \(\

nvduy123123

6 năm trước

Chứng minh rằng 1/1+a^2 + 1/1+b^2 >=2/1+ab

a, Cho a,b > 0 . CMR : $\dfrac{1}{1+a^2}$ + $\dfrac{1}{1+b^2}$ $\ge$ $\dfrac{2}{1+ab}$ nếu ab $\ge$ 1

b, Cho a,b,c $\ge1$ . CMR : $\dfrac{1}{1+a^4}$ + $\dfrac{1}{1+b^4}$ + $\dfrac{1}{1+c^4}$ $\ge$ $\dfrac{1}{1+ab^3}$ + $\dfrac{1}{1+bc^3}$ + $\dfrac{1}{1+ca^3}$

Loga Toán lớp 9

0 lượt thích 13957 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

Tuongthehaianh

Lời giải:

Sử dụng pp biến đổi tương đương:

$\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\geq \frac{2}{ab+1}\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2+2}{(a^2+1)(b^2+1)}\geq \frac{2}{ab+1}$

$\Leftrightarrow (ab+1)(a^2+b^2+2)\geq 2(a^2b^2+a^2+b^2+1)$

$\Leftrightarrow ab(a^2+b^2)+2ab\geq 2a^2b^2+a^2+b^2$

$\Leftrightarrow ab(a^2+b^2-2ab)-(a^2+b^2-2ab)\geq 0$

$\Leftrightarrow ab(a-b)^2-(a-b)^2\geq 0$

$\Leftrightarrow (ab-1)(a-b)^2\geq 0$ (luôn đúng với mọi $ab\geq 1$ )

Ta có đpcm.

b) Áp dụng công thức của phần a ta có:

$\frac{1}{a^4+1}+\frac{1}{b^4+1}\geq \frac{2}{1+(ab)^2}$

Tiếp tục áp dụng công thức phần a: $\frac{1}{1+(ab)^2}+\frac{1}{1+b^4}\geq \frac{2}{1+ab^3}$

Do đó:

$\frac{1}{a^4+1}+\frac{3}{b^4+1}\geq \frac{4}{1+ab^3}$

Hoàn toàn tương tự: $\frac{1}{b^4+1}+\frac{3}{c^4+1}\geq \frac{4}{1+bc^3}; \frac{1}{c^4+1}+\frac{3}{a^4+1}\geq \frac{4}{1+ca^3}$

Cộng theo vế các BĐT trên thu được:

$4\left(\frac{1}{a^4+1}+\frac{1}{b^4+1}+\frac{1}{c^4+1}\right)\geq 4\left(\frac{1}{1+ab^3}+\frac{1}{1+bc^3}+\frac{1}{1+ca^3}\right)$

$\Leftrightarrow \frac{1}{a^4+1}+\frac{1}{b^4+1}+\frac{1}{c^4+1}\geq \frac{1}{1+ab^3}+\frac{1}{1+bc^3}+\frac{1}{1+ca^3}$

Ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

Vote (0) Phản hồi (0) 6 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Chứng minh rằng a+b>4 (với a,b>0 và a+b

c/m : $a+b>4$ (với a,b>0 và a+b

Tìm gái trị nhỏ nhất của x+12/căn x +2

tìm gái trị nhỏ nhất của $\dfrac{x+12}{\sqrt{x}+2}$

Giải phương trình x+căn*(4-x^2)=2+3xcăn4-x^2)

Giải pt:

x+ $\sqrt{4-x^2}$ =2+3x $\sqrt{4-x^2}$

MN giúp vs cảm ơn va cảm ơn nhìu!!!!

Lập phương trình có hệ số nguyên nhận x là một nghiệm biết x= căn bậc [3](20+14 căn2)+ căn bậc [3](14 căn2 -20)

Bài 4: Cho x = $\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}-\sqrt[3]{14\sqrt{2}-20}$

Lập phương trình có hệ số nguyên nhận x là một nghiệm

Bài 5: Cho x = $\sqrt[3]{1+\sqrt{2}}-\sqrt[3]{\sqrt{2}-1}$

Hãy tình giá trị của biểu thức y = $x^3+3x+2015$

Bài 7: Chứng minh số sau là số vô tỉ: $2\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}$

Tổng 2 chữ số =10, tích 2 chữ số nhỏ hơn số đã cho là 12

Cho 1 số tự nhiên có 2 chữ số. Tổng 2 chữ số =10, tích 2 chữ số nhỏ hơn số đã cho là 12

Tính (2-a-3 căn a/căn a -3)(2- 5 căn a - căn ab/ căn b - 5)

$\left(2-\dfrac{a-3\sqrt{a}}{\sqrt{a}-3}\right)\left(2-\dfrac{5\sqrt{a}-\sqrt{ab}}{\sqrt{b}-5}\right)$

Tìm GTNN của B = a^2 + b^2 + c^2

GIÚP MÌNH NHANH NHÉ

Cho a + b + c = 3

Tìm GTNN của B = a² + b² + c²

MÌNH CẦN GẤP LẮM

Giải phương trình 9/x^2+2x/căn(2x^2+9)-1=0

Giải phương trình : $\frac{9}{x^2}+\frac{2x}{\sqrt{2x^2+9}}-1=0$

Vẽ đồ thị hàm số y=2x^2

a)Vẽ đồ thị hàm số y=2x^2

b) Bằng phép tính hãy tìm giá trị của m để đường thẳng (d) : y=4x-m tiếp xúc với (p)

Tìm GTNN của biểu thức A = a^2 + b^2

CÁC BẠN ƠI GIÚP MÌNH BÀI NÀY NHANH CÓ ĐƯỢC KHÔNG, MÌNH CẢM ƠN NHIỀU NHA

Cho a + b = 4

Tìm GTNN của biểu thức A = a² + b²