Lời giải:
a)
Sử dụng pp biến đổi tương đương:
a2+11+b2+11≥ab+12⇔(a2+1)(b2+1)a2+b2+2≥ab+12
⇔(ab+1)(a2+b2+2)≥2(a2b2+a2+b2+1)
⇔ab(a2+b2)+2ab≥2a2b2+a2+b2
⇔ab(a2+b2−2ab)−(a2+b2−2ab)≥0
⇔ab(a−b)2−(a−b)2≥0
⇔(ab−1)(a−b)2≥0 (luôn đúng với mọi ab≥1)
Ta có đpcm.
b) Áp dụng công thức của phần a ta có:
a4+11+b4+11≥1+(ab)22
Tiếp tục áp dụng công thức phần a: 1+(ab)21+1+b41≥1+ab32
Do đó:
a4+11+b4+13≥1+ab34
Hoàn toàn tương tự: b4+11+c4+13≥1+bc34;c4+11+a4+13≥1+ca34
Cộng theo vế các BĐT trên thu được:
4(a4+11+b4+11+c4+11)≥4(1+ab31+1+bc31+1+ca31)
⇔a4+11+b4+11+c4+11≥1+ab31+1+bc31+1+ca31
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1