$B= \bigg(\sqrt x - \dfrac{3x + 1}{x+ 3\sqrt x}\bigg) . \dfrac{\sqrt x + 3}{\sqrt x - 1} (x>0;x \neq 1)$
$= \dfrac{\sqrt x(x + 3\sqrt x) - 3x - 1}{x + 3\sqrt x}. \dfrac{\sqrt x + 3}{\sqrt x - 1}$
$= \dfrac{x\sqrt x + 3x - 3x - 1}{\sqrt x(\sqrt x + 3)} . \dfrac{\sqrt x + 3}{\sqrt x - 1}$
$=\dfrac{x\sqrt x- 1}{\sqrt x} . \dfrac{1}{\sqrt x - 1}$
$= \dfrac{(\sqrt x -1)(x + \sqrt x + 1)}{\sqrt x}. \dfrac{1}{\sqrt x - 1}$
$=\dfrac{x + \sqrt x + 1}{\sqrt x}$
$P = A. B (x > 1)$
⇔ $P = \dfrac{\sqrt x}{\sqrt x+ 1} . \dfrac{x + \sqrt x - 1}{\sqrt x}$
⇔ $P = \dfrac{x + \sqrt x + 1}{\sqrt x - 1}$
⇔ $P = \dfrac{(\sqrt x +2)(\sqrt x - 1) + 3}{\sqrt x - 1}$
⇔ $P = \sqrt x + 2 + \dfrac{3}{\sqrt x- 1} $
⇔ $P = (\sqrt x - 1) + \dfrac{3}{\sqrt x - 1} + 3$
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương có:
$\sqrt x - 1 + \dfrac{3}{\sqrt x -1} \geq 2\sqrt{\sqrt x - 1 .\dfrac{3}{\sqrt x -1}}$
hay $P \geq 2\sqrt 3 + 3$
Dấu "=" xảy ra ⇔ $\sqrt x - 1 = \dfrac{3}{\sqrt x -1}$
⇔ $(\sqrt x - 1)^2 = 3$
Mà $\sqrt x - 1 > 0 (x > 1)$
⇒ $\sqrt x- 1 = \sqrt 3 $
⇔ $x = 4 +2\sqrt 3 (T/m)$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $3 + 2\sqrt 3$ tại $x = 4+ 2\sqrt 3$
