Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ cho hai số không âm ta được:
$\begin{array}{l} \sqrt {a\left( {b + c} \right)} \le \dfrac{{a + b + c}}{2} \Rightarrow \dfrac{{2\sqrt {a\left( {b + c} \right)} }}{{a + b + c}} \le 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2\sqrt {a\left( {b + c} \right)} }}{{a + b + c}}.\sqrt {\dfrac{a}{{b + c}}} \le \sqrt {\dfrac{a}{{b + c}}} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{2a}}{{a + b + c}} \le \sqrt {\dfrac{a}{{b + c}}} \\ TT:\sqrt {\dfrac{b}{{c + a}}} \ge \dfrac{{2b}}{{c + a + b}},\sqrt {\dfrac{c}{{a + b}}} \ge \dfrac{{2c}}{{a + b + c}} \end{array}$
Cộng từng vế bất đẳng thức lại, ta được điều phải chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi có một số bằng 0, hai số còn lại bằng nhau và dương.
Điều này là vô lý vì $a,b,c$ dương. Vậy
$\sqrt {\dfrac{a}{{b + c}}} + \sqrt {\dfrac{b}{{c + a}}} + \sqrt {\dfrac{c}{{a + b}}} > 2$
