Lời giải:

a) Xét $\triangle ABC$ và $\triangle HBA$ có:

$\begin{cases}\widehat{B}:\ \text{góc chung}\\\widehat{A} = \widehat{H} = 90^\circ\end{cases}$

Do đó $\triangle ABC \backsim \triangle HBA \ (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{AB}{HB} = \dfrac{BC}{AB}$

$\Rightarrow AB^2 = HB.BC$

b) Xét $\triangle AHB$ và $\triangle CHA$ có:

$\begin{cases}\widehat{AHB} = \widehat{CHA} = 90^\circ\\\widehat{ABH} = \widehat{CAH}\quad \text{(cùng phụ $\widehat{HAB}$)}\end{cases}$

Do đó $\triangle AHB\backsim \triangle CHA\ (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{AH}{HC} = \dfrac{HB}{AH}$

$\Rightarrow AH^2 = HB.HC$

c) Ta có:

$HD\perp AC$

$AB\perp AC$

$\Rightarrow HD//AB$

$\Rightarrow \begin{cases}HN//BM\\DN//AM\end{cases}$

Áp dụng định lý $Thales$ ta được:

$\dfrac{HN}{BM} = \dfrac{CN}{CM}\quad (HN//BM)$

$\dfrac{DN}{AM} = \dfrac{CN}{CM}\quad (DN//AM)$

$\Rightarrow \dfrac{HN}{BM} = \dfrac{DN}{AM}$

mà $BM = AM = \dfrac12AB\quad (gt)$

nên $HN = DN$

Đáp án+Giải thích các bước giải:

`a)` Xét `ΔBHA` và `ΔBAC` có:

           `\hat{B}` chung

         `\hat{BHA}=\hat{BAC}(=90^o)`

              `=> ΔBHA` $\backsim$ `ΔBAC(g.g)`

               `=>(AB)/(BC)=(BH)/(AB)`

               `=>  AB^2=BC.BH`

`b)` Xét `ΔBHA` và `ΔAHC` có:

           `\hat{BHA}=\hat{CHA}(=90^o)`

          `\hat{B}=\hat{HAC}(` cùng phụ với `\hat{BAH})`

               `=> ΔBHA` $\backsim$ `ΔAHC(g.g)`

               `=> (AH)/(CH)=(BH)/(AH)`

               `=> AH^2=CH.BH`

`c)`Ta có: `HD bot AC`

               `AB bot AC`

        `=> HD ////AB`

`ΔCDN` và `ΔCAM` có: `ND ////AM (HD ////AB, N∈HD, M∈AB)`

          `=> (DN)/(AM) = (CN)=(CM)(` Hệ quả `Thal``es)(1)`

`ΔCNH` và `ΔCMB` có: `NH ////BM (HD ////AB, N∈HD, M∈AB)`

          `=> (HN)/(BM) = (CN)=(CM)(` Hệ quả `Thal``es)(2)`

Từ `(1), (2) => (DN)/(AM) =(HN)/(BM)`

                mà `AM = BM`

                  `=> DN = HN`