Ta chứng minh 1³ + 2³ + . . . + n³ = ( 1 + 2 + . . + n )²
Đặt A = 1³ + 2³ + . . . + n³
A=1³ +2³ +...+ n³
Với n=1 ⇒ A đúng
Giả sử n=k đúng
⇒ A = ( 1 + 2 + . . . + k )²
⇒A=(1+2+...+k)²
Cần CM n = k + 1 đúng
Ta có: A = 1³ + 2³ + . . . + k³ + ( k + 1 )³
A=1³+ 2³ +...+ k³+ (k+1)³
A = ( 1 + 2 + . . . + k )² + ( k + 1 )³
A=(1+2+...+k)² +(k+1)3 (1)
Cần CM : ( k + 1 )³ = 2 ( k + 1 ) ( 1 + 2 + . . . + k ) + ( k + 1 )²
⇔ ( k + 1 )² ( k + 1 − 1 ) = 2 ( k + 1 ) ⋅ $\frac{k ( k + 1 )}{2}$
⇔ ( k + 1 )² k = ( k + 1)² k (luôn đúng)
⇒ ( 1 ) đúng
⇒ đ p c m
Vậy 1 3 + 2 3 + . . . + n 3 = ( 1 + 2 + . . . + n ) 2
