a) Để $(d): (m+1)x+(m-4)y=6//Oy$ thì $d$ có dạng $d: x=b(b\ne 0)$
Để cho $(d)//Oy$ thì $m-4=0\Rightarrow m=4$
Lúc này $(d): 5x=6$
b) Lúc $m=-1$ thì $y=-\dfrac 6 5$, ta có $h=1,2$(1)
Lúc $m=4$ thì $x=\dfrac 6 5$, ta có $h=1,2$(2)
Xét $m\ne -1, m\ne 4$. Gọi $A$ là giao điểm cả đường thẳng (d) với trục tung. Với $x=0$ thì $y=\dfrac 6 {m-4}$, do đó $OA=\dfrac{6}{|m-4|}$
Gọi $B$ là giao điểm của (d) với trục hoành. Với $y=0$ thi $x=\dfrac 6{m+1}$, do đó $OB=\dfrac 6{|m+1|}$
Ta có:
$\begin{array}{l} \dfrac{1}{{{h^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} = \dfrac{{{{\left( {m - 4} \right)}^2}}}{{36}} + \dfrac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{{36}}\\ = \dfrac{{2{m^2} - 6m + 17}}{{36}} = \dfrac{{2{{\left( {m - \dfrac{3}{2}} \right)}^2} + \dfrac{{25}}{2}}}{{36}} \ge \dfrac{{25}}{{72}}\\ \Rightarrow {h^2} \le \dfrac{{72}}{{25}} \Rightarrow h \le \dfrac{{6\sqrt 2 }}{5}(3) \end{array}$
Từ (1), (2), (3) suy ra $\max h=\dfrac{6\sqrt 2}{5}$ khi $m=\dfrac 3 2$
