Đáp án:
`min_S=15/2<=>a=b=c=1/2.`
Giải thích các bước giải:
`S=a+b+c+1/a+1/b+1/c`
`<=>S=a+1/(4a)+b+1/(4b)+c+1/(4c)+3/(4a)+3/(4b)+3/(4c)`
Áp dụng bất đẳng thức cosi cho 2 số dương ta có:
`a+1/(4a)>=2\sqrt{a*1/(4a)}=2\sqrt{1/4}=1`
Tương tự:
`b+1/(4b)>=1`
`c+1/(4c)>=1`
`=>a+1/(4a)+b+1/(4b)+c+1/(4c)>=1+1+1=3`
`=>S>=3+3/(4a)+3/(4b)+3/(4c)`
Áp dụng bất đẳng thức cauchy-schwarts(bunhia dạng phân thức ta có):
`3/(4a)+3/(4b)+3/(4c)=3/4(1/a+1/b+1/c)>=3/4*(9)/(a+b+c)`
Mà `a+b+c<=3/2`
`=>9/(a+b+c)>=9:3/2=6`
`=>3/(4a)+3/(4b)+3/(4c)=3/4(1/a+1/b+1/c)>=3/4*6=9/2`
`<=>S>=3+9/2=15/2`
Dấu "=" xảy ra khi \(\begin{cases}a=b=c\\a+b+c=\dfrac12\\a=\dfrac{1}{4a}\\b=\dfrac{1}{4b}\\c=\dfrac{1}{4c}\\\end{cases}\)
`<=>a=b=c=1/2`
Vậy `min_S=15/2<=>a=b=c=1/2.`
