Đáp án:
`min_P=17/2<=>a=b=1/2.`
Giải thích các bước giải:
`P=a^2+b^2+1/a^2+1/b^2`
`P=a^2+1/(16a^2)+b^2+1/(16b^2)+15/16(1/a^2+1/b^2)`
Áp dụng bất đẳng thức cosi cho 2 số dương ta có:
`a^2+1/(16a^2)>=2\sqrt{a^2*1/(16a^2)}=1/2`
Tương tự:
`b^2+1/(16b^2)>=1/2`
`<=>P>=1+15/16(1/a^2+1/b^2)`
Cần chứng minh:
`1/a^2+1/b^2>=8/(a+b)^2`
Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có:
`1/a^2+1/b^2>=2/(ab)`
Vậy điều cần chứng minh quy về thành:
`2/(ab)>=8/(a+b)^2`
`<=>1/(ab)>=4/(a+b)^2`
`<=>(a+b)^2>=4ab`
`<=>a^2+2ab+b^2>=4ab`
`<=>a^2-2ab+b^2>=0`
`<=>(a-b)^2>=0AAa,b`
Dấu "=" xảy ra khi `a=b`
`=>1/a^2+1/b^2>=8/(a+b)^2`
`a+b<=1=>(a+b)^2<=1`
`=>8/(a+b)^2>=8`
`=>1/a^2+1/b^2>=8/(a+b)^2>=8`
`<=>P>=1+15/16*8`
`<=>P>=1+15/2=17/2`
Dấu "=" xảy ra khi \(\begin{cases}a^2=\dfrac{1}{16a^2}\\=b^2=\dfrac{1}{16b^2}\\a=b\\a+b=1\\\end{cases}\)
`<=>` \(\begin{cases}a^4=\dfrac{1}{16}\\b^4=\dfrac{1}{16}\\a=b\\a+b=1\\\end{cases}\)
`<=>a=b=1/2`
Vậy `min_P=17/2<=>a=b=1/2.`
