Đáp án:
$\left[\dfrac{31}{8};7 \right]$
Giải thích các bước giải:
$y=2\sin^2x+\sin x+4\\ =2\left(\sin^2x+\dfrac{1}{2}\sin x+2\right)\\ =2\left(\sin^2x+2.\sin x.\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{16}\right)+\dfrac{31}{8}\\ =2\left(\sin x+\dfrac{1}{4}\right)^2+\dfrac{31}{8}$
Dựa vào vòng tròn lượng giác, ta có $\sin x \in \left[-\dfrac{1}{2};1\right]$ với $x \in \left[-\dfrac{\pi}{6};\dfrac{2\pi}{3}\right] $
$\Rightarrow \sin x+\dfrac{1}{4} \in \left[-\dfrac{1}{4}; \dfrac{5}{4}\right]\\ \Rightarrow \left(\sin x+\dfrac{1}{4}\right)^2 \in \left[0; \dfrac{25}{16}\right]\\ \Rightarrow 2\left(\sin x+\dfrac{1}{4}\right)^2 \in \left[0;\dfrac{25}{8}\right]\\ \Rightarrow 2\left(\sin x+\dfrac{1}{4}\right)^2+\dfrac{31}{8} \in \left[\dfrac{31}{8};7 \right]\\ $
