3. ΔABC vuông tại A nội tiếp (O) ⇒ BC là đường kính (O) ⇒ O là trung điểm của BC
Đường tròn tâm I đường kính MC ⇒ I là trung điểm của MC
Xét ΔBMC có:
O là trung điểm của BC (cmt)
I là trung điểm của MC (cmt)
⇒ OI là đường trung bình của ΔBMC ⇒ OI // BM ⇒ OE // BM
Xét ΔABC có:
O là trung điểm của BC (cmt)
M là trung điểm của AC (gt)
⇒ OM là đường trung bình của ΔABC ⇒ OM // AB ⇒ OM // BE
Xét tứ giác BMOE có:
OE // BM (cmt)
OM // BE (cmt)
⇒ Tứ giác BMOE là hình bình hành
4. ΔABC vuông tại A (gt) ⇒ $\widehat{BAC}=90^o$ Hay $\widehat{BAM}=90^o$
Xét (I), đường kính MC có:
+ $\widehat{MDC}=90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
+ $\widehat{MNC}=90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ MN ⊥ BC ⇒ $\widehat{MNB}=90^o$
Xét (O), đường kính BC có:
$\widehat{BDC}=90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒ $\widehat{MDC}=\widehat{BDC}=90^o$ ⇒ B, M, D thẳng hàng
Xét tứ giác ABNM có: $\widehat{MNB}+\widehat{BAM}=90^o+90^o=180^o$
Mà hai góc này ở vị trí đối nhau
⇒ Tứ giác ABNM nội tiếp đường tròn đường kính BM
⇒ $\widehat{ABM}=\widehat{ANM}$ (hai góc nội tiếp chắn $\overparen{AM}$)
Hay $\widehat{ABD}=\widehat{ANM}$
Xét (O) có: $\widehat{ABD}=\widehat{ACD}$ (hai góc nội tiếp chắn $\overparen{AD}$)
⇒ $\widehat{ANM}=\widehat{ACD}$ Hay $\widehat{ANM}=\widehat{MCD}$
Xét (I) có: $\widehat{MND}=\widehat{MCD}$ (hai góc nội tiếp chắn $\overparen{MD}$)
⇒ $\widehat{ANM}=\widehat{MND}$
⇒ NM là phân giác $\widehat{AND}$
