\(\begin{array}{l}
X = \Bbb Z\times Z\\
(a_1,b_1) + (a_2,b_2) = (a_1 + a_2,b_1 +b_2)\\
(a_1,b_1)(a_2,b_2) = (a_1a_2,b_1b_2)\\
\text{Kiểm tra các tiên đề quan trọng của vành:}\\
+)\quad \forall (a_1,b_1),(a_2,b_2),(a_3,b_3)\in X,\ \text{ta có:}\\
[(a_1,b_1) + (a_2,b_2)] + (a_3,b3) = (a_1+a_2,b_1+b_2) + (a_3,b_3)\\
\qquad \qquad \qquad \qquad\qquad\qquad = (a_1+a_2+a_3,b_1+b_2+b_3)\\
\qquad \qquad \qquad \qquad\qquad\qquad = (a_1,b_1) + (a_2+a_3,b2+b_3)\\\
\qquad \qquad \qquad \qquad\qquad\quad\ \ = (a_1,b_1) + [(a_2,b_2)+(a_3,b_3)]\\
\Rightarrow \text{Phép + có tính kết hợp}\\
+)\quad \forall (a,b), (c,d)\in X,\ \text{ta có:}\\
(a,b) + (c,d) = (a+c,b+d) = (c+a,d+b) = (c,d) + (a,b)\\
\Rightarrow \text{Phép + có tính giao hoán}\\
+)\quad forall (a,b)\in X,\ \text{ta có:}\\
(a,b) + (0,0) = (a+0,b+0) = (a,b)\\
(0,0) + (a,b) = (0+a,0+b) = (a,b)\\
\Rightarrow \text{$(0,0)$ là phần tử trung hòa của phép + trên $X$}\\
+)\quad \forall (a,b)\in X,\ \text{ta có:}\\
(a,b) + (-a,-b) = (a-a,b-b) = (0,0)\\
(-a,-b) + (a,b) = (-a + a,-b + b) = (0,0)\\
\Rightarrow \text{$(-a,-b)$ là phần tử đối của $(a,b)$ trên $X$}\\
\text{Vậy $(X,+)$ là một nhóm $Abel$}\\
+)\quad \forall (a_1,b_1),(a_2,b_2),(a_3,b_3)\in X,\ \text{ta có:}\\
[(a_1,b_1)(a_2,b_2)](a_3,b_3) = (a_1a_2,b_1b_2)(a_3,b_3) = (a_1a_2a_3,b_1b_2b_3)\\
(a_1,b_1)[(a_2,b_2)(a_3,b_3)] = (a_1,b_1)(a_2a_3,b_2b_3) = (a_1a_2a_3,b_1b_2b_3)\\
\Rightarrow [(a_1,b_1)(a_2,b_2)](a_3,b_3) =(a_1,b_1)[(a_2,b_2)(a_3,b_3)]\\
\Rightarrow \text{Phép $*$ có tính kết hợp}\\
\Rightarrow \text{$(X,*)$ là một nửa nhóm}\\
+)\quad \forall (a_1,b_1),(a_2,b_2),(a_3,b_3)\in X,\ \text{ta có:}\\
[(a_1,b_1) + (a_2,b_2)](a_3,b_3) = (a_1 + a_2,b_1 + b_2)(a_3 b_3)\\
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad = ((a_1 + a_2)a_3, (b_1 + b_2)b_3)\\
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad = (a_1a_3 + a_2a_3, b_1b_3 + b_2b_3)\\
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad = (a_1,b_1)(a_3,b_3) + (a_2,b_2)(a_3,b_3)\\
\Rightarrow \text{Phép * có tính phân phối đối với phép +}\\
\text{Tương tự, phép * có tính giao hoán và có phần tử đơn vị là $(1,1)$}\\
\text{Vậy $(X,+,*)$ là một vành giao hoán có đơn vị}
\end{array}\)
