Đáp án:
$\\$
`a,`
Xét `ΔBMC` và `ΔDMA` có :
`hat{BMC} = hat{DMA}` (2 góc đối đỉnh)
`MA=MC` (Do `M` là trung điểm của `AC`)
`MD=MB` (gt)
`-> ΔBMC = ΔDMC` (cạnh - góc - cạnh)
$\\$
`b,`
Xét `ΔAMB` và `ΔCMD` có :
`hat{AMB}=hat{CMD}` (2 góc đối đỉnh)
`AM=CM` (Do `M` là trung điểm của `AC`)
`MB=MD` (gt)
`-> ΔAMB = ΔCMD` (cạnh - góc - cạnh)
`-> AB = CD` (2 cạnh tương ứng)
mà `AB=AC` (Do `ΔABC` cân tại `A`)
`-> CD = AC (=AB)`
`-> ΔACD` cân tại `C`
$\\$
`c,`
Do `ΔBMC = ΔDMA` (cmt)
`-> AD=BC` (2 cạnh tương ứng)
Có : `MD=MB` (gt)
`-> M` là trung điểm của `BD`
`-> BM = 1/2 BD`
`-> BD = 2BM`
Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔABD` có :
`AB + AD > BD`
mà `AD=BC` (cmt) và `BD=2BM` (cmt)
`-> 2BM < AB + BC`
`-> BM < (AB+BC)/2`
$\\$
`d,`
Có : `M` là trung điểm của `BD` (cmt)
`-> EM` là đường trung tuyến của `ΔDEB`
Do `M` là trung điểm của `AC` (gt)
`-> CM =1/2 CA`
mà `CA=CE` (gt)
`-> CM = 1/2 CE`
`-> (CM)/(CE) = 1/2`
Xét`ΔDEB` có :
`EM` là đường trung tuyến (cmt)
`(CM)/(CE) = 1/2` (cmt)
`->C` là trọng tâm của `ΔDEB`
mà `DC` cắt `BE` tại `I`
`-> DI` là đường trung tuyến của `ΔDEB`
