Đáp án:
a, Xét ΔABD và ΔHBD có:
`hat{BAD} = hat{BHD} = 90^o` (Δ ABC vuông tại A, DH ⊥ BC)
`BD ` : cạnh chung
`hat{ABD} = hat{HBD} ` ( BD là tia phân giác góc B)
`⇒ ΔABD = ΔHBD` (cạnh huyền - góc nhọn)
`⇒ AD = HD` ( 2 cạnh tương ứng)
b, Xét ΔHDC có:
`HD < DC` ( Quan hệ giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông)
Mà `AD = HD` ( c/m trên)
⇒` AD < DC` (đpcm)
c, ΔABC vuông tại A có:
`hat{B}+ hat{C} = 90^o` (2 góc nhọn phụ nhau)
` hat{B} + 30^o = 90^o`
`hat{B} = 90^o - 30^o = 60^o`
Mà BD là tia phân giác nên:
`hat{ABD} = hat{CBD} = hat{B}/2 = 30^o`
Mà `hat{DCB} = 30^o`
`⇒ ΔDBC` cân tại D
Mà DH là đường cao của ΔDBC
⇒ DH cũng là đường trung tuyến của ΔBKC
`⇒ HB = HC`
Xét ΔKBH và ΔKCH có:
`hat{KHB} = hat{KHC} = 90^o` ( KH ⊥ BC)
`HB = HC (c/m trên)`
`KH` : cạnh chung
`⇒ ΔKBH = Δ KCH` ( cạnh huyền - cạnh góc vuông)
`⇒ hat{BKH} = hat{CKH}` (2 góc tương ứng) (1)
`⇒ KB = KC` (2 cạnh tương ứng) ⇒ $\begin{cases} ΔKBC đều \end{cases}$
`⇒ hat{KBH} = hat{KCH}` (2 góc tương ứng)
`⇒ hat{BKC} = 60^o`
Từ (1) `⇒ hat{BKH} = 30^o`
Mà `hat{ABD} = 30^o`
`⇒ ΔKBD` cân tại D
Mà AD là đường cao của ΔKBD
⇒ AD là đường trung tuyến của ΔKBD
`⇒ AB = AK`
ΔBKC có:
`text{ KH là đường trung tuyến ( HB = HC)}`
`text{ CA là đường trung tuyến ( AB = BK)}`
Mà Kh cắt AC tại D
⇒ D là trọng tâm của ΔBKC
