Giải thích các bước giải:
$a.f(a)\\ =a^2x^2+bax+ca\\ =(ax)^2+2.ax.\dfrac{b}{2}+\dfrac{b^2}{4}-\dfrac{b^2}{4}+ca\\ =\left(ax+\dfrac{b}{2}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4}\\ =\left(ax+\dfrac{b}{2}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4}\\ a.f(a) \le 0 \Leftrightarrow \left(ax+\dfrac{b}{2}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4} \le 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{\Delta}{4} \ge \left(ax+\dfrac{b}{2}\right)^2 $
Mà $\left(ax+\dfrac{b}{2}\right)^2 \ge 0 \ \forall \ a,b,x$
$\Rightarrow \Delta \ge 0 \ \forall \ a,b,c,x$
$\Rightarrow f(x)=0$ luôn có nghiệm.