Đáp án: `P_{max}=\frac{1}{128}⇔a=\frac{1}{4};b=c=\frac{1}{2}`
Giải thích các bước giải:
Trước hết, ta chứng minh BĐT sau: $(x+y)^2≥4xy∀x;y>0(*)$
Chứng minh: $(*)⇔x^2+2xy+y^2≥4xy$
$⇔x^2-2xy+y^2≥0$
$⇔(x-y)^2≥0$ (luôn đúng)
Dấu bằng xảy ra $⇔x=y$
Trở lại bài toán:
Do ĐK đề cho nên dễ thấy các thừa số trong $P$ đều lớn hơn $0.$ Do đó, áp dụng BĐT $(*)$, ta được:
$P=a(1-b).b(1-c).c(1-2a)$
$=a(1-2a).b(1-b).c(1-c)$
`=\frac{1}{128}.[4.2a.(1-2a)].[4.b.(1-b)].[4.c.(1-c)]`
`≤\frac{1}{128}.(2a+1-2a)^2.(b+1-b)^2.(c+1-c)^2`
`=\frac{1}{128}`
Dấu bằng xảy ra
$⇔\begin{cases}2a=1-2a\\b=1-b\\c=1-c\end{cases}⇔\begin{cases}a=\dfrac{1}{4}\\b=\dfrac{1}{2}\\c=\dfrac{1}{2}\end{cases}$
