`a)`
Xét `ΔAHB` và `ΔDAB` có:
`hat{AHB}=hat{DAB}=90^o`
`hat{B}:chung`
`⇒ΔAHB`$\backsim$`ΔDAB(g.g)`
`⇒(AB)/(DB)=(BH)/(BA)`
`⇒AB²=BH.DB(đpcm)`
`b)`
Vì `ABCD` là hình chữ nhật
`⇒AD=BC=20cm(` tính chất hình chữ nhật `)`
Áp dụng định lý Py-ta-go vào `Δ` vuông `ABD` ta có:
`BD²=AD²+AB²`
`BD²=20²+15²`
`BD²=400+225`
`BD²=625`
`BD=`$\sqrt[]{625}$
`BD=25(cm)`
Theo câu `a)` ta có:`AB²=BH.BD`
`⇒15²=BH.25`
`⇒BH=(15²)/25`
`⇒BH=225/25`
`⇒BH=9(cm)`
Ta có:`BD=BH+DH`
`⇒25=9+DH`
`⇒DH=25-9`
`⇒DH=16(cm)`
Vậy `DH=16cm`
`c)`
Gọi `O` là giao điểm của `AC` và `BD`
Vì `ABCD` là hình chữ nhật
`⇒AB////CD(` tính chất hình chữ nhật `)`
`OA=OB(` tính chất hình chữ nhật `)`
Vì `AB////CD(cmt)`
`⇒hat{OAB}=hat{C_1}(2` góc so le trong `)(1)`
Vì `OA=OB(cmt)`
`⇒ΔOAB` cân tại `O`
`⇒hat{OAB}=hat{B_1}(` tính chất `Δ` cân `)(2)`
Từ `(1)` và `(2)⇒hat{B_1}=hat{C_1}`
Ta có:`BM=1/3BH(g``t)`
`⇒BH=3BM`
`CN=1/3CD(g``t)`
`⇒CD=3CN`
Xét `ΔAHB` và `ΔADC` có:
`hat{B_1}=hat{C_1}(cmt)`
`hat{AHB}=hat{ADC}=90^o`
`⇒ΔAHB`$\backsim$`ΔADC(g.g)`
`⇒(AB)/(AC)=(BH)/(CD)`
`⇒(AB)/(AC)=(3BM)/(3CN)`
`⇒(AB)/(AC)=(BM)/(CN)`
Xét `ΔAMB` và `ΔANC` có:
`(AB)/(AC)=(BM)/(CN)(cmt)`
`hat{B_1}=hat{C_1}(cmt)`
`⇒ΔAMB`$\backsim$`ΔANC(c.g.c)`
`⇒hat{A_1}=hat{A_2}(2` góc tương ứng `)`
Mà `hat{A_1}+hat{MAC}=hat{BAC}`
`hat{A_2}+hat{MAC}=hat{MAN}`
`⇒hat{BAC}=hat{MAN}`
Vì `ΔAMB`$\backsim$`ΔANC(c.g.c)`
`⇒(AM)/(AN)=(AB)/(AC)`
Hay `(AM)/(AB)=(AN)/(AC)`
Xét `ΔMAN` và `ΔBAC` có:
`(AM)/(AB)=(AN)/(AC)(cmt)`
`hat{MAN}=hat{BAC}(cmt)`
`⇒ΔMAN`$\backsim$`ΔBAC(c.g.c)`
`⇒hat{AMN}=hat{ABC}=90^o(2` góc tương ứng `)`
`⇒AM⊥MN(đpcm)`
