Đáp án:
`B={2023-\sqrt{2023}}/{2023}`
Giải thích các bước giải:
Với `n\ge 1` ta có:
`\qquad 1/{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}`
`=1/{\sqrt{n(n+1)}.(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}`
`={\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}/{\sqrt{n(n+1)}.(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}`
`={\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}/{\sqrt{n(n+1)}.(n+1-n)}`
`={\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}/{\sqrt{n(n+1)}`
`=\sqrt{n+1}/{\sqrt{n(n+1)}}-\sqrt{n}/{\sqrt{n(n+1)}}=1/\sqrt{n}-1/\sqrt{n+1}`
`=>1/{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=1/\sqrt{n}-1/\sqrt{n+1}` với `n\ge 1`
Áp dụng công thức trên ta có:
`S=1/{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+1/{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+...+1/{2023\sqrt{2022}+2022\sqrt{2023}}`
`=1/\sqrt{1}-1/\sqrt{2}+1/\sqrt{2}-1/\sqrt{3}+...+1/\sqrt{2022}-1/\sqrt{2023}`
`=1-1/\sqrt{2023}=1-\sqrt{2023}/{2023}={2023-\sqrt{2023}}/{2023}`
Vậy: `B={2023-\sqrt{2023}}/{2023}`
