Đáp án:
$A.\ \dfrac{a^3\sqrt{105}}{28}$
Giải thích các bước giải:
Xét $\triangle ABC$, áp dụng định lý $\cos$ ta được:
$\quad AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2AB.BC.\cos\widehat{ACB}$
$\Leftrightarrow AB^2 = 3a^2 + a^2 - 2.a\sqrt3.a.\cos150^\circ$
$\Leftrightarrow AB^2 = 7a^2$
$\Rightarrow AB = a\sqrt7$
Từ $C$ kẻ đường cao $CH$
Ta được:
$\quad \dfrac{1}{2}AC.BC.\sin\widehat{ACB} = \dfrac12AB.CH = 2S_{ABC}$
$\Leftrightarrow CH = \dfrac{AC.BC.\sin\widehat{ACB}}{AB} = \dfrac{a\sqrt3.a.\sin150^\circ}{a\sqrt7}$
$\Leftrightarrow CH = \dfrac{a\sqrt{21}}{14}$
Ta có:
$\begin{cases}CH\perp AB\quad \text{(cách dựng)}\\BB'\perp CH\quad (CH\subset (ABC))\end{cases}$
$\Rightarrow CH\perp (ABB'A')$
$\Rightarrow B'H$ là hình chiếu của $B'C$ lên $(ABB'A')$
$\Rightarrow \widehat{(B'C;(ABB'A'))} = \widehat{CB'H} = \alpha$
$\Rightarrow \sin\widehat{CB'H} = \sin\alpha = \dfrac14$
$\Rightarrow \dfrac{CH}{B'C} = \dfrac14$
$\Rightarrow B'C = 4CH = \dfrac{2a\sqrt{21}}{7}$
Áp dụng định lý $Pythagoras$ ta được:
$\Leftrightarrow B'C^2 = BB'^2 + BC^2$
$\Rightarrow BB' = \sqrt{B'C^2 - BC^2} = \sqrt{\left(\dfrac{2a\sqrt{21}}{7}\right)^2 - a^2}$
$\Rightarrow B'B = \dfrac{a\sqrt{35}}{7}$
Do đó:
$\quad V_{ABC.A'B'C'} = S_{ABC}.BB'$
$\Leftrightarrow V_{ABC.A'B'C'} = \dfrac{1}{2}AC.BC.\sin\widehat{ACB}.BB'$
$\Leftrightarrow V_{ABC.A'B'C'} = \dfrac12\cdot a\sqrt3\cdot a\cdot \sin150^\circ \cdot \dfrac{\sqrt{35}}{7}$
$\Leftrightarrow V_{ABC.A'B'C'} = \dfrac{a^3\sqrt{105}}{28}$
