Đáp án + Giải thích các bước giải:
Có: `x^2/y^2 + y^2/x^2 + z^2/x^2 >= x/y + y/z + z/x`
`<=> x^2/y^2 + y^2/x^2 + z^2/x^2 - (x/y + y/z + z/x) >= 0`
`<=> x^2/y^2 + y^2/x^2 + z^2/x^2 - 2(x/y + y/z + z/x) + (x/y + y/z + z/x) >= 0 (1)`
Nếu chứng minh được
`(1) =x^2/y^2 + y^2/x^2 + z^2/x^2 - 2(x/y + y/z + z/x) + (x/y + y/z + z/x) >= 0` tức là bất đẳng thức được chứng minh.
Áp dụng Cauchy cho 3 số `x/y > 0, y/z >0, z/x>0` ta có:
`x/y + y/z + z/x >= 3\root{3}{x/y . y/z . z/x} = 3`
`=> (1) >= x^2/y^2 + y^2/x^2 + z^2/x^2 - 2(x/y + y/z + z/x) + 3`
` <=> (1) >= (x/y - 1)^2 + (y/z - 1)^2 + (z/x -1)^2 >= 0`
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Dấu "=" xảy ra `<=>` `{(x^2/y^2 = 1),(y^2/z^2 = 1),(z^2/x^2 =1):}`
`<=> x=y=z`
