`1)` `AB=9cm;BC=15cm`
$∆ABC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$
`=>AB^2=BH.BC` (hệ thức lượng)
`=>BH={AB^2}/{BC}={9^2}/{15}=5,4cm`
$\\$
`\qquad CH=BC-BH=15-5,4=9,6cm`
$\\$
`\qquad AC^2=CH.BC=9,6. \ 15=144` (hệ thức lượng)
`=>AC=\sqrt{144}=12cm`
$\\$
`\qquad AH^2=BH.CH=5,4.\ 9,6=51,84`
`=>AH=\sqrt{51,84}=7,2cm`
Vậy `BH=5,4cm;CH=9,6cm; AC=12cm;AH=7,2cm`
$\\$
`2)` `AC=5cm;AB=4cm`
`a)` $∆ABC$ vuông tại $A$
`=>BC^2=AC^2+AB^2=5^2+4^2=41` (định lý Pytago)
`=>BC=\sqrt{41}cm`
$\\$
`b)` Vẽ $AH\perp BC$ tại $H$
Xét $∆ABC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$
`=>AB^2=BH.BC` (hệ thức lượng)
`=>BH={AB^2}/{BC}={4^2}/\sqrt{41}={16\sqrt{41}}/{41}cm`
$\\$
`\qquad AC^2=CH.BC` (hệ thức lượng)
`=>CH={AC^2}/{BC}={5^2}/\sqrt{41}={25\sqrt{41}}/{41}cm`
$\\$
Vậy hình chiếu của $AB;AC$ lên cạnh huyền lần lượt là:
`BH={16\sqrt{41}}/{41}cm;CH={25\sqrt{41}}/{41}cm`
$\\$
`c)` `AH^2=BH.CH` (hệ thức lượng)
`={16\sqrt{41}}/{41} . {25\sqrt{41}}/{41}={400.41}/{41^2}`
`=>AH=\sqrt{{400.\ 41}/{41^2}}={20\sqrt{41}}/{41}cm`
Vậy `AH={20\sqrt{41}}/{41}cm`
