`a)`
Xét `Δ` cân `ABC` có `AD` là đường cao
`⇒AD` đồng thời là đường trung tuyến của `ΔABC`
`⇒BD=CD`
Mà `BC=BD+CD`
`⇒BD=CD=(BC)/2=12/2=6(cm)`
Áp dụng định lý Py-ta-go vào `Δ` vuông `ABD` có:
`AB²=AD²+BD²`
`10²=AD²+6²`
`AD²=10²-6²`
`AD²=100-36`
`AD²=64`
`AD=`$\sqrt[]{64}$
`AD=8(cm)`
Vậy `AD=8cm`
`b)`
Xét `ΔABD` và `ΔCBE` có:
`hat{ADB}=hat{CEB}=90^o`
`hat{B}:chung`
`⇒ΔABD`$\backsim$`ΔCBE(g.g)(đpcm)`
`⇒(AB)/(CB)=(BD)/(BE)`
`⇒10/12=6/(BE)`
`⇒BE=(12.6)/10`
`⇒BE=72/10`
`⇒BE=7,2(cm)`
Vậy `BE=7,2cm`
`c)`
Theo câu `b)ΔABD`$\backsim$`ΔCBE(g.g)`
`⇒(AB)/(CB)=(AD)/(CE)`
`⇒10/12=8/(CE)`
`⇒CE=(12.8)/10`
`⇒CE=96/10`
`⇒CE=9,6(cm)`
Xét `ΔCDH` và `ΔCEB` có:
`hat{CDH}=hat{CEB}=90^o`
`hat{C}:chung`
`⇒ΔCDH`$\backsim$`ΔCEB(g.g)`
`⇒(CD)/(CE)=(HD)/(BE)`
`⇒6/(9,6)=(HD)/(7,2)`
`⇒HD=(6.7,2)/(9,6)`
`⇒HD=(43,2)/(9,6)`
`⇒HD=4,5(cm)`
Vậy `HD=4,5cm`