Giải thích các bước giải:
$a)\Delta ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$
$\Rightarrow AB^2=BH.BC; AC^2=CH.BC\\ \Rightarrow \dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{BH.BC}{CH.BC}=\dfrac{BH}{CH}$
$b)\Delta AHB$ vuông tại $H$, đường cao $HD$
$\Rightarrow BH^2=BD.AB$
Chứng minh tương tự $\Rightarrow CH^2=CE.AC$
$\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{BH}{CH}\\ \Rightarrow \dfrac{AB^4}{AC^4}=\dfrac{BH^2}{CH^2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{AB^4}{AC^4}=\dfrac{BD.AB}{CE.AC}\\ \Leftrightarrow \dfrac{AB^3}{AC^3}=\dfrac{BD}{CE}$
$c)ADHE$ có $ \widehat{DAE}=\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=90^\circ $
$\Rightarrow ADHE$ là hình chữ nhật
$\Rightarrow AH=DE$
$\Delta ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$
$\Rightarrow AH^2=BH.CH; AB.AC=AH.BC\\ AH^4=BH^2.CH^2=BD.AB.CE.AC=BD.CE.AB.AC=BD.CE.AH.BC\\ \Rightarrow AH^3=BD.CE.BC$
$d)\Delta ABC$ vuông tại $A$
$\Rightarrow BC^2=AB^2+AC^2$
$\Delta DHE$ vuông tại $H$
$\Rightarrow HD^2+HE^2=DE^2=AH^2$
$\Delta HDB$ vuông tại $D$
$\Rightarrow HB^2=HD^2+BD^2$
$\Delta HEC$ vuông tại $E$
$\Rightarrow HC^2=HE^2+CE^2$
$\Delta AHB$ vuông tại $H$
$\Rightarrow AB^2=AH^2+HB^2$
$\Delta AHC$ vuông tại $H$
$\Rightarrow AC^2=AH^2+HC^2$
$BC^2=AB^2+AC^2\\ =AH^2+BH^2+AH^2+CH^2\\ =2AH^2+BH^2+CH^2\\ =2AH^2+HD^2+BD^2+HE^2+CE^2\\ =2AH^2+BD^2+CE^2+HD^2+HE^2\\ =2AH^2+BD^2+CE^2+AH^2\\ =3AH^2+BD^2+CE^2$
