Số cách xếp các học sinh vào ghế là $(2n+3)!$ cách
Nhận xét: Nếu số tự nhiên a, b, c lập thành một cấp số cộng thì $a+c=2b$ nên $a+c$ là một số chẵn. Như vậy $a, c$ phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
Từ $2n+3$ có $n+1$ số chẵn và $n+2$ số lẻ.
Muốn có một cách xếp học sinh thỏa số ghế của An, Bình, Chi theo thứ tự lập thành một cấp số cộng ta sẽ tiến hành như sau:
Chọn ghế có thứ tự cùng chẵn cùng lẻ rồi xếp An, Chi, vào, sau đó xếp Bình vào ghế chính giữa hai bạn đó. Bước này có $A_{n + 1}^2 + A_{n + 2}^2$ cách.(ở th xếp vào ghế chẵn và ghế lẻ)
Bước thứ 2: Xếp $2n$ học sinh còn lại có $(2n)!$ cách xếp
Như vậy theo quy tắc nhân ta có số cách xếp là: $A_{n + 1}^2 + A_{n + 2}^2(2n)!$ cách xếp.
Ta có phương trình:
$\begin{array}{l} \dfrac{{\left( {A_{n + 1}^2 + A_{n + 2}^2} \right)\left( {2n} \right)!}}{{\left( {2n + 3} \right)!}} = \dfrac{{17}}{{1155}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{n\left( {n + 1} \right) + \left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {2n + 1} \right)\left( {2n + 2} \right)\left( {2n + 3} \right)}} = \dfrac{{17}}{{1155}}\\ \Leftrightarrow 68{n^2} - 1019n - 1104 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} n = 16\\ n = - \dfrac{{69}}{{68}}(L) \end{array} \right.\\ \Rightarrow 2n + 3 = 2.16 + 3 = 35 \end{array}$
Vậy số học sinh là $35$ học sinh.
