Đáp án:
$S=\{4\}$
Giải thích các bước giải:
ĐKXĐ: $1\le x\le 7$
$x+4\sqrt{7-x}=4\sqrt{x-1}+\sqrt{(x-1)(7-x)}+1$
$⇔x-1+4\sqrt{7-x}=4\sqrt{x-1}+\sqrt{(x-1)(7-x)}$
Đặt: $\begin{cases}a=\sqrt{x-1}\,(a\ge 0)\\b=\sqrt{7-x}\,(b\ge 0)\end{cases}$
$PT⇔a^2+4b=4a+ab$
$⇔a^2-(b+4)a+4b=0$
Quy về phương trình ẩn $a$ có $b$ là tham số:
$Δ=(b+4)^2-4.4b=b^2+8b+16-16b=b^2-8b+16=(b-4)^2$
$⇒\sqrt Δ=|b-4|$
$⇒\left[ \begin{array}{l}a=\dfrac{b+4+b-4}{2}=b\\a=\dfrac{b+4-b+4}{2}=4\end{array} \right.$
TH1: $a=b$
$⇒\sqrt{x-1}=\sqrt{7-x}$
$⇒x-1=7-x$
$⇒2x=8$
$⇒x=4\,(TM)$
TH2: $a=4$
$⇒\sqrt{x-1}=4$
$⇒x-1=16$
$⇒x=17\,(L)$
Vậy $S=\{4\}$.
