Với $n$ là số tự nhiên, chứng minh rằng: $(25^n-9^n)\vdots (25-9)$
• Nếu $n=0$:
$(1-1)=0\quad\vdots\quad(25-9)$, thoả mãn
• Nếu $n>0$ chẵn:
$A=25^n-9^n$
$=\left( 25^{\frac{n}{2}}\right)^2-\left( 9^{\frac{n}{2}}\right)^2$
$=\left( 25^{\frac{n}{2}}-9^{\frac{n}{2}}\right).\left( 25^{\frac{n}{2}}+9^{\frac{n}{2}}\right)$
$=\left( 25^{\frac{n}{4}}-9^{\frac{n}{4}}\right).\left( 25^{\frac{n}{4}}+9^{\frac{n}{4}}\right).\left( 25^{\frac{n}{2}}+9^{\frac{n}{2}}\right)$
$=\left( 25^{\frac{n}{2}}+9^{\frac{n}{2}}\right).\left( 25^{\frac{n}{4}}+9^{\frac{n}{4}}\right)....\left( 25^{\frac{n}{n}}-9^{\frac{n}{n}}\right)$
$\to$ $A$ có nhân tử $(25^1-9^1)$ nên chia hết cho $(25-9)$
• Nếu $n$ lẻ:
Đặt $n=2k+1$, $k$ là số tự nhiên
$A=25^{2k+1}-9^{2k+1}$
$=25^{2k}.25-9^{2k}.9$
$=(25^{2k}-9^{2k}).25+25.9^{2k}-9.9^{2k}$
$=(25^{2k}-9^{2k}).25+9^{2k}(25-9)$
Vì $2k$ chẵn nên ta có:
$\begin{cases} (25^{2k}-9^{2k})\quad\vdots (25-9)\\ 25-9\quad\vdots 25-9\end{cases}$
$\to A\quad\vdots\quad 25-9$
Vậy ta có đpcm.
