`D` là trung điểm của `AB` (gt) ⇒ `AD=BD=\frac{1}{2}AB`
`E` là trung điểm của `AC` (gt) ⇒ `AE=EC=\frac{1}{2}AC`
Xét `ΔADM` và `ΔBDC` có:
`AD=BD` (gt)
`\hat{ADM}=\hat{BDC}` (hai góc đối đỉnh)
`MD=CD` (gt)
⇒ `ΔADM=ΔBDC`
⇒ `AM=BC` (hai cạnh tương ứng)
`\hat{AMD}=\hat{DCB}` (hai góc tương ứng) Hay `\hat{AMC}=\hat{MCB}`
Mà hai góc này ở vị trí so le trong do `MC` cắt `AM` và `BC`
⇒`AM`$//$`BC`
Xét `ΔAEN` và `ΔCEB` có:
`AE=CE` (gt)
`\hat{AEN}=\hat{CEB}` (hai góc đối đỉnh)
`BE=NE` (gt)
⇒ `ΔAEN=ΔCEB`
⇒ `AN=BC` (hai cạnh tương ứng)
`\hat{ANE}=\hat{EBC}` (hai góc tương ứng) Hay `\hat{ANB}=\hat{NBC}`
Mà hai góc này ở vị trí so le trong do `NB` cắt `AN` và `BC`
⇒ `AN`$//$`BC`
Mà `AM`$//$`BC` (cmt)
⇒ `AN ≡ AM` (tiên đề Ơ-clit)
⇒ `A, M, N` thẳng hàng
Mà `AM=BC` (cmt), `AN=BC` (cmt)
⇒ `A` là trung điểm của `MN`
